运用米勒定理简解最大角问题.doc

,德国数学家米勒向诺德尔教授提出了如下十分有趣的问题:在地球表面的什么部位,一根垂直的悬杆呈现最长,即在什么部位,视角最大,最大视角问题是数学史上100个著名的极值问题中第一个极值问题而引人注目,因为德国数学家米勒曾提出这类问题,因此最大视角问题又称之为“米勒问题”,更一般的米勒问题如下:米勒问题:已知点是角MON的边上的两个定点,点是边上的动点,则当在何处时,角ACB最大,对米勒问题有如下重要结论我们不妨称之为米勒定理。米勒定理:已知点是角MON的边上的两个定点,点是边上的一动点,则当且仅当三角形ABC的外圆与边相切于点时,角ACB最大。,证明:如图1,设是边上不同于点的任意一点,连结,因为角AC,B是圆外角,角ACB是圆周角,易证角ACB小于角ACB,故角ACB最大。图,根据切割线定理得,,即,于是我们有:角ACB最大等价于三角形ABC的外圆与边相切于点。、历届高考和模拟考试中频频亮相,常常以解析几何、平面几何和实际应用为背景进行考查。若能从题设中挖出隐含其中的米勒问题模型,并能直接运用米勒定理解题,这将会突破思维瓶颈、大大减少运算量、降低思维难度、缩短解题长度,从而使问题顺利解决。否则这类问题将成为考生的一道难题甚至一筹莫展,即使解出也费时化力。下面举例说明米勒定理在解决最大角问题中的应用。(1986年全面直角坐标系中,在轴的正半轴上给定两定点,试在轴的正半轴上求一点,使取得最大值。图,分析:这是一道较早的“米勒问题”的高考题,该题背景简单解题思路入口宽解法多样,是一道难得的好题。若用米勒定理求解则可一步到位,轻而易举地拿下此题简解:设,由米勒定理知,当且仅当时,最大,故点的坐标为例2如图3,足球场长100米,宽60米,,有一位左边锋欲射门,应在边的何处才使射门角度最大?解:依题意,由米勒定理知当(米)时,最大。故边锋应在边距约米处射门才能使射门角度最大。图3图4图5例3(2004年全国数学竞赛试题)在直角坐标系中,给定两点,在轴的正半轴上求一点,使最大,则点的坐标为,,,,。解:如图4,设直线与轴相交于点,则,因为,所以,所以,所以,由两点间的距离公式得,由米勒定理知,当且仅当时,最大,此时点的坐标为。(2010年高考江苏理科第17题)某兴趣小组要测量电视塔的高度(单位:),如示意图5,垂直放置的标杆的高度,仰角。(1)该小组已测得一组的值,算出了,请据此算出的值;(2)若该小组分析若干测得的数据后,认为适当调查整标杆到电视塔的中距离(单位:),使之差较大,可以提高测量精度。若电视塔的实际高度为,试问为多少时,最大,解:(2)设,由米勒定理知,当且仅当即?时,最大。又由得,?,??得,,将其代入?得,,所以,故当为时,最大。点评:第(2)问以实际应用和平面几何为背景考查最大角问题,本解法以米勒定理和相似三角形等知识为突破口,结合方程思想求解,综合性强能力立意高有一定难度。(2001年希望杯数学竞赛培训题)是椭圆的左右焦点,是椭圆的准线,点,,求的最大值