第四章-离散系统分析和离散傅里叶变换 图文.doc

第四章-离散系统分析和离散傅里叶变换_图文,在连续信号和离散信号处理技术领域有广泛的应用。为利用计算机计算傅里叶变换,对信号与频谱有如下要求:1、信号与频谱应是离散的2、数据长度都是有限的本章介绍如何将傅里叶级数和傅里叶变换的分析方法应用于离散时间信号,即序列的傅里叶分析,它们是由傅里叶变换发展而来的一种变换方法。离散傅里叶变换(DFT和快速傅里叶变换(FFT在理论上解决了利用计算机进行傅里叶分析的问题。(DFSDFS的推导:连续周期函数f(t表示为指数形式的傅里叶级数为f(t=傅里叶级数的复系数Fn为n=−∞∑Fen∞jnΩ0t1T2Fn=∫Tf(te−jnΩ0tdtT−22πT式中,T是f(t的周期,角频率Ω0=根据上述公式,可导出周期序列的离散傅里叶级数。信号处理基础若fP(n是周期信号f(t的抽样序列,即fP(n=f(t|t=nTs,Ts为抽样间隔,它与信号周期T的关系为NTs=T,则fp(n可写为+∞fP(n=f(t|t=nTs==k=−∞jkΩ0nTsFe∑k+∞2πnkNk=−∞∑Fek+∞j2πTsnkT=将上式等号两边同乘指数函数e−j2πnmNk=−∞∑Fekj上式变为再取和式∑n=0j2πnkNN−1∑fn=0N−1p(ne−j2πnmN=∑=+∞N−1+∞n=0k=−∞∑FekN−1n=0jke−j2πnmNk=−∞∑F∑e2πn(k−mN注意到N−∑n=因为k-m当k≠m时,当k=m时,因而有可得上式表明:Fp(k与傅里叶级数复系数将上式两边同乘以指数函数上式称为DFS也是离散周期的。即k次谐波成分为当已知Fp(k其余各周期的全部数值。的。→∞定义非周期序列=jeFω(nf=(limN→F(ejω是序列的傅里叶变换具有如下性质:z线性特性(nx⎯→←n←z时间位移特性(y(nx⎯→←z频率位移特性(nx⎯→←z对称特性(nx⎯→←在深入讨论离散傅里叶变换式的傅里叶变换对。1、(连续=nF2、(连续ΩF(kF(3、离散傅里叶级数p4、离散时间傅里叶变换jeFω(z通过以下变换对可以看出是非周期散频谱z以下变换对可以看出周期的频谱。z以下变换对可以看出期的频谱,谱。…11NNN−z以下变换对可以看出频谱,而时域的非周期对应于频域的连续。类别(连续傅里叶级数((机上运算,因为除了DFS和IDFS以外,至少在一个域(时域或频域中函数是连续的。因为从数字计算角度,我们感兴趣的是时域及频域都是离散的情况。而工作中经常要对有限长序列进行频谱分析,这就是我们这里要谈到的离散傅里叶变换。可借助于DFS定义DFT,思路如下:(1把时域周期序列看作是有限长序列(把频域周期序列看作是有限长序列(2(3这样只要把主值区间对——现借助于DFS的概念对有限长序列进行傅里叶分析:设(为有限长序列:xn为引用周期序列的有关概念,假定一个周期序列是以N为周期将表示为:符号((n”。RN(n是矩形脉冲序列1、DFT正变换:反变换:如何区分在意义上有差别,在形式上相同。DFS表明时域中的周期序列得到的频谱也是周期离散的。它是严格按照傅里叶分析的概念得来的。由前面的分析已知,有限长序列是非周期性的,故其傅里叶变换应当是连续、周期性的频谱。只是一种借用形式,一种算法。DFT相同。注意:--------列的一个周期来表示,都隐含有周期性意义。取主值(fn(RnpN通常记X上两式可写为矩阵形式和例:利用的离散傅里叶变换。法一:和(nx法二:Q∴∴XXXX故:例:已知(xn=IDFT解:因N可见求出的结果是前例的逆运算结果。2、离散傅里叶变换的性质1式中,2圆周位移特性x(n为我们可以这样来理解上式所表达的圆周位移的含义。首先,将x(n~列最后取主值序列。nx(圆周位移过程示意图3圆周卷积特性(n和设x1若则两个序列的圆周卷积定义为质上将其中一个序列周期延拓后,反褶、圆周移位,再与另一个序列相乘、求和的过程。它要求两个序列长度均为N。例:已知两个有限长序列(hn=n+1Rn试用图解方法求圆周卷积n=xn⊗hn和((4(试用图解方求圆积y(((解:将x(n与h(n的自变量n置换为m,见右图(a,(bh反褶圆周移位后的(m反褶、圆周移位后的图形:h((0-mh((1-mh((2-mmh((3-m由公式:∑m=0得:y(0=1×1+1×4+1×3+0×2=8y(1=1×2+1×1+1×4+0×3=7(2=1×3+1×2+1×1+0×4=6y(y