离散系统分析和离散傅里叶变换.doc

88 第四章离散系统分析和离散傅里叶变换 4-1 概述在上一章中我们已经介绍了连续时间信号( 周期的或非周期的) 的傅里叶变换。在第一、二章中介绍了离散信号和离散系统的概念,在这一章中主要讨论离散信号的傅里叶变换。 4-2 离散信号的傅里叶变换时域抽样定理告诉我们,连续时间信号可以由它的样本值恢复出来,即]2 )([)()(???????? n snT tSa nT ftf 当抽样频率 s?给定时,抽样函数]2 )([ nT tSa s??就确定了,唯一与信号相关的是信号的样本值)(nT f ,换句话说传载)(tf 中信息的是样本值)(nT f 。因此研究连续时间信号)(tf 中的信息,就转变为研究样本值)(nT f 中的信息。当抽样频率 s?给定时,T 也就一定了, 样本值)(nT f 就可以抽象为序列)(nf , 也就是说离散信号的数学抽象是序列。以后我们就用序列)(nf 表示离散信号( 样本值)。由于序列的变量是整数变量, 与连续信号的变量不同, 因此对序列的处理方法与连续时间变量的处理方法也必定不同。先来看看序列的傅里叶变换,连续非周期时间信号)(tf 的傅里叶变换为?????????dtetftfF tj)(])([)(F??????????deFFtf tj-)(2 1 )]([)( 1? F 假定)(nf 是非周期的,仿照连续时间信号的傅里叶变换形式可以定义序列的傅里叶变换: ??????? n jn jenfeF ??)()( ( 4-1 )????????? deeFnf jnj)(2 1)( ( 4-2 ) 式中?为数字角频率。( 4-1 ) 式和( 4-2 ) 式构成了序列的傅里叶变换对, 前者称为序列的傅里叶正变换, 后者称为序列的傅里叶逆变换。注意到序列傅里叶正变换公式是个和式, 这是因为序列)(nf 的变量是离散的整数, 序列的傅里叶逆变换公式是个积分式, 由此也说明序列的傅里叶变换是?的连续函数,也就是说,离散信号的傅里叶变换是频域中连续的函数。此外因 89 ???????? n njjenfeF )2()2()()( ?????????? n njnjeenf ??2)()()( ??jn njeFenf???????所以任何序列的傅里叶变换都是以?2 为周期的频域连续函数。序列的傅里叶变换具有如下性质: 1. 线性特性若)()( ?jeXnx??? F ,)()( ?jeYny???? F 则)()()()( ??jjebY eaX nbynax?????? F ( 4-3 ) 式中 a和b 均为常数。 2. 时间位移特性若)()( ?jeXnx??? F则)()( 0 ??j njeXennx ?????? F ( 4-4 ) 式中 0n 为任意整数。 3. 频率位移特性若)()( ?jeXnx??? F则)()( )(???????? jnjeXenx F ( 4-5 ) 式中 0?为任意常数。 4. 对称特性若)(nx 为实数序列,且有)()(nxnx?? 90 则称)(nx 为偶序列( even sequence ) ,通常用下标 e 表示偶序列,即)(nx e 。若)(nx 为实数序列,且)()(nxnx???则称)(nx 为奇序列( odd sequence ) ,通常用下标 o 表示奇序列,即)(nx o 。任何序列都可以表示为偶序列与奇序列之和,即)()()(nxnxnx oe??( 4-6 ) 其中)]()([2 1)(nxnxnx e???( 4-7 ) )]()([2 1)(nxnxnx o???( 4-8 ) 若)(nx 为复数序列,且其实部为偶对称,虚部为奇对称,即)]( Re[ )]( Re[ nxnx??)]( Im[ )]( Im[ nxnx???则称此序列为共轭对称序列( conjugate symmetric sequence ) ,通常表示为)()( *nxnx ee??。若)(nx 为复数序列,且其实部为奇对称,虚部为偶对称,即)]( Re[ )]( Re[ nxnx???)]( Im[ )]( Im[ nxnx??则称此序列为共轭反对称序列( conjugate ant symmetric sequence ) ,通常表示为)()( *0nxnx o???。任意复数序列)(nx 均可表示为共轭对称序列与共轭反对称序列之和,即)()()(nxnxnx oe??( 4-9 ) 其中)]()([2 1)( *nxnxnx e???( 4-10 ) )]()([2 1)( *nxnxnx o???( 4-11 ) 实际上,( 4-9 )式与( 4-6 )式是等价的,当)(nx 为实数序列时,( 4-9 )式就变成( 4-6 )式了。若)()( ?jeXnx??