离散系统分析和离散傅里叶变换(共30页).doc

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第四章 离散系统分析和离散傅里叶变换
4和。比较和这两个复值数函数表达式，可以看出有两点不同，一是连续时间信号的周期T是个模拟量，而周期序列的周期N则为整数值；二是连续时间信号的自变量t是连续时间变量，而离散时间信号的自变量n是离散变量（整数值）正是因为存在着这种差别，决定了周期离散信号的傅里叶级数与周期连续信号的傅里叶级数有着本质的区别。在周期连续信号的傅里叶级数表达式中，复指数（谐波分量）有无穷多个，这表现在傅里叶级数是n无穷和式。然而对于周期离散信号的复指数（谐波分量）只有N个独立分量，这是因为

同理可以推导出

以上二式说明复指数既是变量k的周期序列，也是变量n的周期序列，周期均为N。因此周期信号只能分解在独立的
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N个分量上，即有
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（4-14）
为了与非周期序列加以区别，周期信号序列加注下标 “p”表示周期含义。（4-14）式是仿照周期连续时间信号的傅里叶级数形式得出的周期序列傅里叶级数展开式，现在的问题是这样的展开是否可行，即能否找到满足（4-14）式的一组系数。
用乘以（4-14）式两边，并对n从0到N-1求和，即

上式右边交换求和次序，有


上式中方括弧中的和式由正交关系求出，即：

式中m为整数，方括弧中的和式只有当或时，取非零值N，由于后一个和式变量k的取值范围为，所以m必须取零值（即），这就是说只有当时，方括弧中的和式取非零值，于是
（4-15）
以上分析表明，（4-14）式中的系数可以严格地由（4-15）式求出，也就是说（4-14）式表述的关系是存在的。将（4-14）式和（4-15）式略作修改就是周期序列的傅里叶级数表达式，即
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(4-16)
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式中称为旋转因子，为傅里叶级数的系数，在这里写成序列形式，它由下式给出：
（4-17）
注：
因为
所以
注意到按照我们前面推导的结果因子应该乘以（4-17）式，而在这里将这个因子放在（4-16）式中了，这是信号处理理论中的习惯没有特殊的含义；另外也看到我们除了将傅里叶级数的系数写成序列形式外，还加注了下标“p”，这是因为



周期序列的傅里叶级数系数也是以N为周期的周期序列。
任意给定一个周期序列都可以由（4-17）式求出它的傅里叶级数的系数序列，也就是说，时域中的一个周期序列必定与频域中的一个周期序列一一对应，在信号处理理论中通常称（4-17）式为周期序列的离散傅里叶级数变换（简写为DFS），即
（4-18）
而（4-16）式称为离散傅里叶级数的逆变换（简写为IDFS），即
（4-19）
我们可以把看成时域序列的频域表示，反之也可看成一个频域序列的时域表示，这就是说，
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与由（4-16）式和（4-17）式构成了时域与频域的映射关系。
现在讨论离散傅里叶级数的性质。设和都是周期为N的
如果把周期连续时间信号的傅里叶级数的系数看成周期序列在频域中的映射（即，则我们可以得出如下关系：
、非周期时域信号←映射→非周期、连续频域信号，它由傅里叶变换构成映射关系，即
（4-20）
（4-21）
、非周期时域信号←映射→周期、连续频域信号，它由序列的傅里叶变换构成映射关系，即
（4-22）
（4-23）
、周期时域信号←映射→非周