第四章—离散系统分析和离散傅里叶变换教材版new.ppt

第四章离散系统分析和离散傅里叶变换
概述
周期序列的傅里叶级数
非周期序列的离散时间傅里叶变换
离散傅里叶变换
快速离散傅里叶变换
概述
傅里叶变换实现了时域到频域的转换,在连续信号和离散信号处理技术领域有广泛的应用。
为利用计算机计算傅里叶变换,对信号与频谱有如下要求:
1、信号与频谱应是离散的
2、数据长度都是有限的
本章介绍如何将傅里叶级数和傅里叶变换的分析方法应用于离散时间信号,即序列的傅里叶分析,它们是由傅里叶变换发展而来的一种变换方法。
离散傅里叶变换(DFT)和快速傅里叶变换(FFT)在理论上解决了利用计算机进行傅里叶分析的问题。
周期序列的傅里叶级数(DFS)
连续周期函数f(t)表示为指数形式的傅里叶级数为
傅里叶级数的复系数Fn为
式中,T是f(t)的周期,角频率
根据上述公式,可导出周期序列的离散傅里叶级数。
DFS的推导:
若fP(n)是周期信号f(t)的抽样序列,即fP(n)=f(t)|t=nTs,Ts为抽样间隔,它与信号周期T的关系为NTs=T,则fp(n)可写为
将上式等号两边同乘指数函数
再取和式
上式变为
注意到
有如下的几何级数形式:
,其中
因为k-m是整数,因而有
当k≠m时, G≠1 ,于是得:
当k=m时, G=1 ,于是得:
因而有
可得
上式表明:FP(k)也是一个周期序列,称为离散傅里叶系数。
Fp(k)与傅里叶级数复系数Fk仅相差一个因子N
将上式两边同乘以指数函数
再求和式
并注意到
DFS表明离散周期序列fP(n)所对应的离散傅里叶系数FP(k)
也是离散周期的。即FP(k)的周期为N,其基波成分为
k次谐波成分为
。Fp(k)为DFS的k次谐波分量的复系数。
当已知0~(N-1)次谐波成分后,根据DFS的周期性就可求出 Fp(k)其余各周期的全部数值。全部谐波成分中只有N个是独立的。
上式称为周期序列的离散傅里叶级数(DFS)。
非周期序列的离散时间傅里叶变换(DTFT) /序列的傅里叶变换
当N→∞时,周期序列fP(n) →非周期序列f (n)
FP(k)谱线间隔ω0→无穷小,记为dω
kω0→ω
定义非周期序列f (n)的DTFT及其反变换为:
F(ejω)是ω的连续周期函数,周期为2π。
序列的傅里叶变换具有如下性质:
 线性特性


 时移特性


频移特性
对称特性
)
(
)
(
*
*
w
j
e
X
n
x
-
¾
®
¬
)
(
)
(
*
*
w
j
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X
n
x
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