离散系统分析和离散傅里叶变换.doc

第四章离散系统分析和离散傅里叶变换
4-1概述
在上一章中我们已经介绍了连续时间信号(周期的或非周期的)的傅里叶变换。在第一、二章中介绍了离散信号和离散系统的概念,在这一章中主要讨论离散信号的傅里叶变换。
4-2离散信号的傅里叶变换
时域抽样定理告诉我们,连续时间信号可以由它的样本值恢复出来,即

当抽样频率给定时,抽样函数就确定了,唯一与信号相关的是信号的样本值,换句话说传载中信息的是样本值。因此研究连续时间信号中的信息,就转变为研究样本值中的信息。当抽样频率给定时,也就一定了,样本值就可以抽象为序列,也就是说离散信号的数学抽象是序列。以后我们就用序列表示离散信号(样本值)。
由于序列的变量是整数变量,与连续信号的变量不同,因此对序列的处理方法与连续时间变量的处理方法也必定不同。先来看看序列的傅里叶变换,连续非周期时间信号的傅里叶变换为


假定是非周期的,仿照连续时间信号的傅里叶变换形式可以定义序列的傅里叶变换:
(4-1)
(4-2)
式中为数字角频率。(4-1)式和(4-2)式构成了序列的傅里叶变换对,前者称为序列的傅里叶正变换,后者称为序列的傅里叶逆变换。注意到序列傅里叶正变换公式是个和式,这是因为序列的变量是离散的整数,序列的傅里叶逆变换公式是个积分式,由此也说明序列的傅里叶变换是
的连续函数,也就是说,离散信号的傅里叶变换是频域中连续的函数。此外因



所以任何序列的傅里叶变换都是以为周期的频域连续函数。
序列的傅里叶变换具有如下性质:
线性特性
若 ,
则(4-3)
式中a和b均为常数。
时间位移特性
若
则(4-4)
式中为任意整数。
频率位移特性
若
则(4-5)
式中为任意常数。
对称特性
若为实数序列,且有
则称为偶序列(even sequence),通常用下标e表示偶序列,即。
若为实数序列,且
则称为奇序列(odd sequence),通常用下标o表示奇序列,即。
任何序列都可以表示为偶序列与奇序列之和,即
(4-6)
其中(4-7)
(4-8)
若为复数序列,且其实部为偶对称,虚部为奇对称,即


则称此序列为共轭对称序列(conjugate symmetric sequence),通常表示为。
若为复数序列,且其实部为奇对称,虚部为偶对称,即


则称此序列为共轭反对称序列(conjugate ant symmetric sequence),通常表示为。
任意复数序列均可表示为共轭对称序列与共轭反对称序列之和,即
(4-9)
其中(4-10)
(4-11)
实际上,(4-9)式与(4-6)式是等价的,当为实数序列时,(4-9)式就变成(4-6)式了。
若
则(4-12)
(4-13)
(4-12)式说明共轭序列的傅里叶变换等于原序列傅里叶变换的共轭函数的反函数。(4-13)式说明反序列的共轭序列的傅里叶变换等于原序列傅里叶变换的共轭函数。这个性质再一次表明了时域和频域的对称性。
4-3周期序列的傅里叶级数(DFS)
我们知道一个周期为T的连续时间信号可以展开成傅里叶级数,即

式中 ,。
对于一个周期为N的离散信号,也可以展开成傅里叶级数,注意到连续时间信号展开成傅里叶级数是将信号表示成一系列基波频率整倍数频率上复指数函数的加权和。由此我们想到一个周期序列也展开成其基波频率整倍数频率上复指数的加权和。比较和这两个复值数函数表达式,可以看出有两点不同,一是连续时间信号的周期T是个模拟量,而周期序列的周期N则为整数值;二是连续时间信号的自变量t是连续时间变量,而离散时间信号的自变量n是离散变量(整数值)正是因为存在着这种差别,决定了周期离散信号的傅里叶级数与周期连续信号的傅里叶级数有着本质的区别。在周期连续信号的傅里叶级数表达式中,复指数(谐波分量)有无穷多个,这表现在傅里叶级数是n无穷和式。然而对于周期离散信号的复指数(谐波分量)只有N个独立分量,这是因为

同理可以推导出

以上二式说明复指数既是变量k的周期序列,也是变量n的周期序列,周期均为N。因此周期信号只能分解在独立的
N个分量上,即有
(4-14)
为了与非周期序列加以区别,周期信号序列加注下标“p”表示周期含义。(4-14)式是仿照周期连续时间信号的傅里叶级数形式得出的周期序列傅里叶级数展开式,现在的问题是这样的展开是否可行,即能否找到满足(4-14)式的一组系数。
用乘以(4-14)式两边,并对n从0到N-1求和,即

上式右边交换求和次序,有


上式中方括弧中的和式由正交关系求出,即:

式中m为整数,方括弧中的和式