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三角函数与三角变换综合练习【例题精选】 掌握三角的有关公式系统,通过三角变换进行三角函数或三角函数式的化简。求值或证明, 例1、如果是第二象限角,试判断的符号。 分析:∵是第二象限角。∴. 视为弧度数。显然是第一象限的角,是第四象限的角。 故 ∴ 例2、求函数的定义域 分析:求三角函数的定义域时,要遵循求代数函数定义域的一般方法,同时要注意三角函数本身的特殊要求。如本题中。由①,得 由②、③得 综合上述得说明:在求各个角集的交集时,用单位圆的方法更方便,如图。例3、化简下列各式 (1); (2). 分析:在使用诱导公式时,要注意三角函数的名称和三角函数的符号;化异名三角函数为同角三角函数时,一般化切、割函数为正、余弦函数。 (1)原式(2)原式例4、已知= 。 分析:∵ 将两边平方得∴ 说明:在三者中知其一就可求其二,但在已知求另二式时,需注意开方时的符号,三者之间的关系在三角变换中经常涉及到。 例5、根据下列条件,分别确定x的范围: (1); (2); (3) 分析: (1)应注意思考如何去掉绝对值的符号,方法是应考虑绝对值号式子的正负。 对来说,当, 当x<0时,有, 于是原式就转化为, 当且仅当时成立 故x的取值范围是。右边. 故已知等式成立的条件是。 ∵,∴只须cosx<0。 ∴x取值范围是。 (3)由。 ∴,故由已知,得 sin(cosx)<0,∴ ∴x的取值范围是:。 说明:本题是从逆向思维的角度,由已知条件判断三角函数的符号,从而确定式中x的取值范围。概念性强,对思维能力要求较高。例6、对下列各式进行化简求值 (1); (2); (3) (4) 分析:这是一组基础题,也是高考中常见的题目,要注意归纳解题的思路、方法和技巧,提高识别、观察能力。 (1)方法一: 方法二: (2)方法一: 方法二:利用积化和差、和差化积来做。(4)注意到20°+25°=45° ∴tg20°+tg25°=1-tg20°25°, ∴(1+tg20°)(1+tg25°) =1+tg20°+tg25°+tg20°tg25° =1+1-tg20°tg25°+tg20°tg25° =1 例7、根据条件进行求值。 (1)已知的值; (2)已知的值。 分析:关键是通过三角变换、将欲求的三角函数式用已知条件加以表示。 (1) 由, ∴ 又(2)因条件已知,就要将欲求的三角函数式通过变形消去的三角函数,要注意到角的变换,。 原式= 例8、已知,试分别求的值。 分析:设法将已知条件进行变形,与欲求式发生联系,然后进行求值。 (1)将已知二式进行和差化积,得由,利用万能公式有(2)将已知二式两边分别平方,得由③+④,得∴ 说明:上面解题过程中的变形,是常用的两种不同的变形。要注意积累解题经验。 例9、已知x是锐角,且cosx-2sinx=1,求sinx+2cosx的值。 分析:将已知和未知之间沟通联系。在已知和未知中都含有sinx和cosx。 方法一:利用acosx+bsinx=c型求解。 ∵cosx-2sinx=1得, 其中 又,这里的和上面的完全相同,而x是锐角。 ∴ ∴方法二:利用整体换元;借助平方关系来求,令。 又已知cosx-2sinx=1, 解得 代入平方关系,有解得∴ ∴sinx+2cosx=2 例10、已知方程的两根是,求 的值。 分析:∵ 是方程的两根 ∴ ∴ 故另外,还可如下变形: 代入求值。 例11、已知,的值。 分析:将已知条件视为关于的方程,通过变形找出之间的关系。 由题设有∴= ∴又由于 ∴ ∴当不存在; 当时, 例12、设,求k的取值范围。 分析:由 ∴ 由,故有 ,① 又∵∴, ∴② 将②代入①,则①变为即k(3-k2)<0 ③ 不等式③转化为等价的不等式组解之:(Ⅰ)无解; 所以所求k的取值范围为。 说明:在解答过程中,不可忽视k的隐含的条件,即由得,否则就会得出错误的结论。【综合练习】 1、2弧度的圆心角所对的弦长为2,则这个圆心角所夹的扇形面积是 A. B. C. 2、已知角,则的取值范围是 A. B. C. D. 3、如果,那么所在的象限为 4、已知,则满足等式 的的集合是 A. B. C. D. 5、已知= 。 6、已知,x是第二、三象限的角,则x的取值范围是。 7、化简。 8、已知,求tgx的值。 9、如果的值等于 A. B. C. D. 10、设,求的值。 11、设是第二象限的角,求下列各式的值。 (1); (2) 12、已知求的值。 13、不查表,求下列各式的值: (1)sin117°cos70°+cos129°sin44°+cos246°cos109°; (2); (3)tg9°+ctg117°-tg243°-ctg351°; (4)sin6