排队论问题讲解.ppt

几种重要的概率分布1贝努里分布它的概率分布为:P{X=1}=p,P{X=0}=1-p它也称两点分布或(0-1)分布。它描述一次贝努里试验中,成功或失败的概率。2二项分布P{X=k}=Cnkpk(1-p)n-k,k=0,1,…,n它描述n次贝努里试验中事件A出现k次概率。3几何分布P{X=k}=p(1-p)k-1,k=1,2,…它描述在k次贝努里试验中首次出现成功的概率。?几何分布有一个重要的性质-----后无效性:在前n次试验未出现成功的条件下,再经过m次试验(即在n+m次试验中)首次出现成功的概率,等于恰好需要进行m次试验出现首次成功的无条件概率。用式子表达:?P{X=n+m|X>n}=P{X=m}(请同学们试证明之)?这种与过去历史(试验次数n)无关的性质称为马尔可夫性。?4泊松分布(Poisson)?P{X=k}=λke-λ/k!k=0,1,2,…?泊松分布是最重要的离散型概率分布之一,它作为表述随机现象的一种形式,在计算机性能评价等实践中扮演了重要的角色。?在实际系统模型中,一般都要假定任务(或顾客)的到来是服从泊松分布的。实践也证明:这种假设是有效的。?5(负)指数分布它是一种连续型的概率分布,它的概率密度为f(x)=λe-λxx≥00x<0分布函数:F(x)=1-e-λxx≥0指数分布的一个有用的性质是它的数学期望等于标准差:μx=σx=1/λ在连续型随机变量中,只有指数分布具有无后效性。即:若随机变量ζ服从指数分布,对任意的s>0,t>0,有P{ζ>s+t|ζ>s}=P{ζ>t}在离散型随机变量中,只有几何分布具有无后效性。这两种分布可以分别用来描绘离散等待时间和连续等待时间。在排队理论中,指数分布是很重要的。它可以描述某一任务(或顾客)的服务持续时间。k阶爱尔朗分布概率密度:f(x)=(λkx)n-1λke-λkx/(n-1)!x≥0,λ><0数字特征:E[X]=1/λ;Var[X]=1/(kλ2)如果k个随机变量Xi,i=1,2,…,k,分别服从指数分布,那么随机变量X=X1+X2+…+Xk服从k阶爱尔朗分布。即:具有k阶爱尔朗分布的随机变量可以看作具有同一指数分布的独立的k个随机变量之和。k阶爱尔朗分布在排队模型中,得到广泛应用。如:假定顾客在到达窗口排队必须通过一个关口,这个关口由k层构成,通过每层的时间服从参数为λ的指数分布,这样顾客通过整个关口到达窗口排队时,就实现了爱尔朗分布。如下图:k…2100…00窗口基本组成输入来源队列服务机构排队系统顾客服务完离开排队系统的三个基本组成部分.?输入过程(顾客按照怎样的规律到达);?排队规则(顾客按照一定规则排队等待服务);?服务机构(服务机构的设置,服务台的数量,服务的方式,服务时间分布等)♂排队系统的到达和服务?1到达规律的描述?(1)主要描述参数?(a)到达时点?将某一时刻设为t0,顾客依次到达的时刻用…≤t-1≤t0≤t1≤t2≤…表示,如果在时刻tk到达的顾客为Nk,则到达时点可用{tk、Nk)表示。?(b)平均到达间隔?一个顾客到达时刻之间的时宽为到达间隔。?(c)到达速率?单位时间到达顾客的平均数叫到达速率,也称到达密度或输入速率。?(2)到达规律?顾客的到达规律可以用概率来描述,两个顾客到达的时间间隔是独立的随机变量,服从同一概率分布时。常用的分布规律有:?(a)一般到达?(b)泊松到达?(c)爱尔朗到达?(d)等间隔到达泊松分布和指数分布在排队论中的应用泊松分布(Poisson):P{X=k}=λke-λ/k!k=0,1,2,…,μx=σx=λ泊松分布是最重要的离散型概率分布之一,也是表述随机现象的一种重要形式。在实际系统模型中,一般都要假定任务(或顾客)的到来是泊松分布的。实践也证明:这种假设有效。如果顾客到达的人数是符合泊松分布,即在时间T内有k个顾客到达的概率为:p=(λT)ke-λT/k!,在时间T内顾客到达的平均顾客数=λT,平均到达速度(顾客数/秒)=λ服从泊松分布过程的到达被认为是随机到达,因为当顾客根据泊松过程到达时,顾客在各个时刻到达的可能性相同并与其它顾客的到达无关。(负)指数分布:它是一种连续型的概率分布,它的概率密度:f(x)=λe-λxx≥0它的分布函数:F(x)=1-e-λxx≥0指数分布的一个有用的性质是它的数学期望等于标准差:μx=σx=1/λ泊松分布和指数分布的关系:如果顾客以泊松到达,则顾客到达的时间间隔Ta服从指数分布,即:P{Ta<t}=1-e-λt,E[Ta]=1/λ因此,平均到达的时间间隔是到达速率的倒数。服务规律的描述?(1)主要描述参量(a)平均服务时间设服务时间的分布函数为F(t),则服务时间的平均表示为:1/μ=∫tdF(t)其中μ称为平均服务速率,平均一个顾客的服务时间。(b)服务