、相似矩阵的概念和性质定义对于n阶方阵A和B,若存在n阶可逆方阵P,使得则称A与B相似,记为矩阵的“相似”关系具有以下特性:(1)反身性:(2)对称性:证(3)传递性::定理相似矩阵有相同的特征多项式,;推论2相似矩阵的迹相等;推论3若矩阵A与一个对角阵相似,:,因为对任意可逆阵P,即与E相似的矩阵只有它自己。相似矩阵的其它性质:相似矩阵的秩相等;若P,Q为可逆矩阵,,B同为可逆或不可逆,可逆时它们的逆矩阵及伴随矩阵也分别相似。只证(3),其余证明留作练习.(1)(2)(3)(4)(5)(6),,得到比较等式两边同次幂的系数,。二、矩阵可相似对角化的条件定理如果一个矩阵能与一个对角阵相似,称该矩阵可以(相似)对角化。证必要性:设A与一个对角阵相似,即存在一个可逆阵P,。上述步骤倒过来写,即得充分性证明。,:,此时不一定有n个线性无关的特征向量,从而矩阵A不一定能对角化;但如果能找到n个线性无关的特征向量,。10.
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