鲲鹏初一数学特训班讲义.doc

鲲鹏教育初一数学基础知识讲义主讲:关军第一讲和绝对值有关的问题知识结构框图:数绝对值的意义:(1)几何意义:一般地,数轴上表示数a的点到原点的距离叫做数a的绝对值,记作|a|。(2)代数意义:①正数的绝对值是它的本身;②负数的绝对值是它的相反数;③零的绝对值是零。也可以写成:说明:(Ⅰ)|a|≥0即|a|是一个非负数;(Ⅱ)|a|概念中蕴含分类讨论思想。典型例题例1.(数形结合思想)已知a、b、c在数轴上位置如图:则代数式|a|+|a+b|+|c-a|-|b-c|的值等于(A)A.---:|a|+|a+b|+|c-a|-|b-c|=-a-(a+b)+(c-a)+b-c=-3a分析:解绝对值的问题时,往往需要脱去绝对值符号,化成一般的有理数计算。脱去绝对值的符号时,必须先确定绝对值符号内各个数的正负性,再根据绝对值的代数意义脱去绝对值符号。这道例题运用了数形结合的数学思想,由a、b、c在数轴上的对应位置判断绝对值符号内数的符号,从而去掉绝对值符号,完成化简。:,,且,那么的值(C) :由题意,x、y、z在数轴上的位置如图所示:所以分析:数与代数这一领域中数形结合的重要载体是数轴。这道例题中三个看似复杂的不等关系借助数轴直观、轻松的找到了x、y、z三个数的大小关系,为我们顺利化简铺平了道路。虽然例题中没有给出数轴,但我们应该有数形结合解决问题的意识。例3.(分类讨论的思想)已知甲数的绝对值是乙数绝对值的3倍,且在数轴上表示这两数的点位于原点的两侧,两点之间的距离为8,求这两个数;若数轴上表示这两数的点位于原点同侧呢?分析:从题目中寻找关键的解题信息,“数轴上表示这两数的点位于原点的两侧”意味着甲乙两数符号相反,即一正一负。那么究竟谁是正数谁是负数,我们应该用分类讨论的数学思想解决这一问题。解:设甲数为x,乙数为y由题意得:,(1)数轴上表示这两数的点位于原点两侧:若x在原点左侧,y在原点右侧,即x<0,y>0,则4y=8,所以y=2,x=-6若x在原点右侧,y在原点左侧,即x>0,y<0,则-4y=8,所以y=-2,x=6(2)数轴上表示这两数的点位于原点同侧:若x、y在原点左侧,即x<0,y<0,则-2y=8,所以y=-4,x=-12若x、y在原点右侧,即x>0,y>0,则2y=8,所以y=4,x=12例4.(整体的思想)方程的解的个数是(D):这道题我们用整体的思想解决。将x-2008看成一个整体,问题即转化为求方程的解,利用绝对值的代数意义我们不难得到,负数和零的绝对值等于它的相反数,所以零和任意负数都是方程的解,即本题的答案为D。例5.(非负性)已知|ab-2|与|a-1|互为相互数,:利用绝对值的非负性,我们可以得到:|ab-2|=|a-1|=0,解得:a=1,b=2于是在上述分数连加求和的过程中,我们采用了裂项的方法,,如果题目变成求值,你有办法求解吗?有兴趣的同学可以在课下继续探究。例6.(距离问题)观察下列每对数在数轴上的对应点间的距离4与,3与5,与,:(1)你能发现所得距离与这两个数的差的绝对值有什么关系吗?答:____相等.(2)若数轴上的点A表示的数为x,点B表示的数为―1,:点B表示的数为―1,所以我们可以在数轴上找到点B所在的位置。那么点A呢?因为x可以表示任意有理数,所以点A可以位于数轴上的任意位置。那么,如何求出A与B两点间的距离呢?结合数轴,我们发现应分以下三种情况进行讨论。当x<-1时,距离为-x-1,当-1<x<0时,距离为x+1,当x>0,距离为x+1综上,我们得到A与B两点间的距离可以表示为(3)结合数轴求得的最小值为5,取得最小值时x的取值范围为-3≤x_≤:即x与2的差的绝对值,它可以表示数轴上x与2之间的距离。即x与-3的差的绝对值,它也可以表示数轴上x与-3之间的距离。如图,x在数轴上的位置有三种可能:图1图2图3图2符合题意(4)满足的的取值范围为x<-4或x>-1分析:同理表示数轴上x与-1之间的距离,表示数轴上x与-4之间的距离。本题即求,当x是什么数时x与-1之间的距离加上x与-4之间的距离会大于3。借助数轴,我们可以得到正确答案:x<-4或x>-1。说明:借助数轴可以使有关绝对值的问题转化为数轴上有关距离的问题,反之,有关数轴上的距离问题也可以转化为绝对值问题。这种相互转化在解决某些问题时可以带来方便。事实上,表示的几何意义就是在数轴上表示数A与数B的点之间的距离。这是一个很有用的结论,我们正是利用这一结论