第零章数学准备一泰勒展开式1二项式的展开2一般函数的展开特别:时,3二元函数的展开(x=y=0处)评注:以上方法多用于近似处理与平衡态处的非线性问题向线性问题的转化。在理论力问题的简单处理中,一般只需近似到三阶以内。二常微分方程一阶非齐次常微分方程:通解:注:积分时不带任意常数,可为常数。一个特殊二阶微分方程通解:注:为由初始条件决定的常量二阶非齐次常微分方程通解:;为对应齐次方程的特解,为非齐次方程的一个特解。非齐次方程的一个特解对应齐次方程设得特征方程。解出特解为,。*若则,;*若则,;*若则,;若为二次多项式*时,可设*时,可设注:以上,,A,B,C,D均为常数,由初始条件决定。三矢量1矢量的标积注:常用于一矢量在一方向上的投影矢量的矢积四矩阵此处仅讨论用矩阵判断方程组解的分布情形。令*D=0时,方程组有非零解*D0时,方程只有零解第一章牛顿力学的基本定律万丈高楼从地起。整个力学大厦的地基将在此筑起,三百年的人类最高科学智慧结晶将飘来他的古朴与幽香。此时矢量言语将尽显英雄本色,微积分更是风光占尽。【要点分析与总结】1质点运动的描述直线坐标系平面极坐标系自然坐标系柱坐标系〈析〉上述矢量顺序分别为:矢量微分:(其它各矢量微分与此方法相同)微分时一定要注意矢量顺序2牛顿定律惯性定律的矢量表述直角坐标系中极挫标系中自然坐标系中3质点运动的基本定理几个量的定义:动量角动量冲量力矩冲量矩动能动量定理方向上动量守恒:动量矩定理动能定理4机戒能守恒定理T+V=E〈析〉势函数V:稳定平衡下的势函数:;此时势能处极小处且能量满足【解题演示】1细杆OL绕固定点O以匀角速率转动,并推动小环C在固定的钢丝AB上滑动,O点与钢丝间的垂直距离为d,如图所示。求小环的速度和加速度。解:依几何关系知:又因为:故:2椭圆规尺AB的两端点分别沿相互垂直的直线Oχ与Oy滑动,已知B端以匀速c运动,如图所示。求椭圆规尺上M点的轨道方程、速度及加速度的大小υ与α。解:依题知:且:得:又因M点位置:故有:代入(*)式得:即:一半径为r的圆盘以匀角速率沿一直线滚动,如图所示。求圆盘边上任意一点M的速度和加速度(以O、M点的连线与铅直线间的夹角θ表示);并证明加速度矢量总是沿圆盘半径指向圆心。解:设O点坐标为()。则M点坐标为()故:一半径为r的圆盘以匀角深度ω在一半经为R的固定圆形槽内作无滑动地滚动,如图所示,求圆盘边上M点的深度υ和加速度α(用参量θ,Ψ表示)。解:依题知:且O点处:则:已知某质点的运动规律为:y=bt,,a和b都是非零常数。(1)写处质点轨道的极坐标方程;(2)用极坐标表示出质点的速度和加速度。解:得:已知一质点运动时,经向和横向的速度分量分别是λr和µθ,这里μ和λ是常数。:由题知:且:故:质点作平面运动,其速率保持为常量,证明质点的速度矢量与加速度矢量正交。证明:设速度为。则:由于与为正交矢量。即得证。8一质点沿心脏线以恒定速率v运动,:设且有:解得:得:则:9已知质点按运动,分别求出质点加速度矢量的切向和法向分量,经向分量和横向分量。解:(1)极坐标系下:由得:且设:则:得:则:径向与横向的分量分别为,。10质点以恒定速率沿一旋轮线运动,旋轮线方程为。证明质点在方向做等加速运动。解:依题意:得:则:11一质点沿着抛物线运动,如图所示,其切向加速度的量值是法向加速度值的-2k倍。若此质点从正焦弦的一端点以速率出发,求质点到达正焦弦的另一端点时的速率。解:建立自然坐标系有:且:积分得:(代入)又因为:在点处斜率:在点处斜率:故:即:
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