理论力学(陈世民)答案解析.docx

第零章数学准备
泰勒展开式
二项式的展开
mx+
mm-12
x
2!
mm-1m-23
x
III
般函数的展开
fxfx0
x-x。
f__x0
2!
x-x0
fx0
3!
又因为：xxi—ii
cosd
故：a22xx-i2(d22x2)x1
rdd2
椭圆规尺AB的两端点分别沿相互垂直的直线Ox与Oy滑动，B端以匀速c运
动，如下图。求椭圆规尺上M点的轨道方程、速度及加速度的大小u与“。
解：依题知：yB(bd)cos
sm
\17
*
M
—■—a
M
，Ax
22
-b
be
2
be
-^j
sm
半径为r的圆盘以匀角速率沿一直线滚动，如下图。求圆盘边上任意一点M
的速度［和加速度a〔以o、m点的连线与铅直线间的夹角。表示〕；并证明加速度矢量总是沿圆盘半径指向圆心。
解：设。点坐标为〔RtXo，R〕。那么M点坐标为〔RtxoRsin，RRcos
故:
Mj(RRcos)i'R
MMR2sinLR
22，
cosjR(sinicosj)
半径为r的圆盘以匀角深度3在一半经为R的固定圆形槽内作无滑动地滚动，如图所
示，求圆盘边上M点的深度u和加速度a〔用参量。，W表示〕。
解：依题知:
且O点处：ekcos()er
sin()
那么:
rMrOOrOM
(Rr)eRr，1
[(Rr)cos()
ner(Rr)sin(
Im
rM(|)sin(
rsin()er
)er[(Rr)cos(r[1cos()]
)r]
(Rr)(||)cos()，
(Rr)sin(
I|)cos(。
ccos()er
2
)err|sin()Wrjsin()，r
r(Il)sin()；r|[1cos(
--rRrcos()errsin(
Rr
5某质点的运动规律为：y=bt，
at，a和b都是非零常数。〔1〕写处质点轨道
的极坐标方程；〔2〕用极坐标表示出质点的速度，和加速度
解：1yrsinbt
得:
b4
cscera
basinacos
sin2
absin
1coter
b
r__・
asin
一质点运动时，经向和横向的速度分量分别是入r和0，这里科和入是常数。求
出质点的加速度矢量
解:
由题知:
rer
且：rr，r
故:
r)|e
(2r
质点作平面运动，其速率保持为常量，证明质点的速度矢量与加速度矢量正交O
证明：设速度为
那么:
d
dt
由于e与麻为正交矢量。即得证。
8一质点沿心脏线r(1
COS)以恒定速率
v运动，求出质点的速度r和加速度
解：设
err
siner
COS
且有：［
2
sin]
2
1cosr]
解得:
2cos一
2
得:
sin
sin一，r
2，
cos一
2
那么:
(sinercos-e)
22
11|cos—er
22
sin—
2
21sin2e1
cos-er
2
2
-(
tan-e)
2
9质点按ret
t运动，
分别求出质点加速度矢量的切向和法向分量，经向
分量和横向分量。
解：〔1〕极坐标系下:
t得:
且设:
r
那么:
r
得:
r
r
te
te
由ret
径向与横向的分量分别为〔2r2
(r)ea2
开r「
(||r||)er|2er
■:r2r-
那么:
)e:2
10质点以恒定速率C沿一旋轮线运动，旋轮线方程为
xR(
sin)，yR(1cos)。
证明质点在y方向做等加速运动。
解：依题意：C2X2
22“、22
R(1cos)I
R2
2。2
sin
得:
那么：ay
2Rcos—
2
yR(|2cos
llsin)
C2
4R
(cos
1。。2
sinsin一
22)
C2
4R
C2
4R
2
cos一
2
3
cos一
2
2
cos一
一
2
sin一
2
2
cos一2
2
sin一
2)
2
cos一
2