四点共圆基本性质及证明样稿.doc

四点共圆
假如同一平面内四个点在同一个圆上，则称这四个点共圆，通常简称为“四点共圆”。四点共圆有三个性质：
共圆四个点所连成同侧共底两个三角形顶角相等；
（2）圆内接四边形对角互补；
圆内接四边形外角等于内对角。
以上性质能够依据圆周角等于它所对弧度数二分之一进行证实。
1定理
判定定理
方法1： 把被证共圆四个点连成共底边两个三角形，且两三角形全部在这底边同侧，若能证实其顶角相等，从而即可肯定这四点共圆。
（能够说成：若线段同侧二点到线段两端点连线夹角相等，那么这二点和线段二端点四点共圆）
方法2 ：把被证共圆四点连成四边形，若能证实其对角互补或能证实其一个外角等于其邻补角内对角时，即可肯定这四点共圆。
（能够说成：若平面上四点连成四边形对角互补或一个外角等于其内对角，那么这四点共圆）
托勒密定理
若ABCD四点共圆（ABCD按次序全部在同一个圆上），那么ABDC+BCAD=ACBD。
例题：证实对于任意正整数n全部存在n个点使得全部点间两两距离为整数。
解答：归纳法。我们用归纳法证实一个更强定理：对于任意n全部存在n个点使得全部点间两两距离为整数，且这n个点共圆，而且有两点是一条直径两端。n=1，n=2很轻松。当n=3时，一个边长为整数勾股三角形即可：比如说边长为3，4，5三角形。我们发觉这么三个点共圆，边长最长边是一条直径。假设对于n大于等于3成立，我们来证实n+1。假设直径为r（整数）。找一个不跟已存在以这个直径为斜边三角形相同一个整数勾股三角形ABC（边长a<b<c）。把原来圆扩大到原来c倍，并把一个边长为ra<rb<rc三角形放进去，使得rc边和放大后直径重合。这个三角形在圆上面对应了第n+1个点，记为P。于是依据Ptolomy定理，P和已存在全部点距离全部是一个有理数。（考虑P，这个点Q和直径两端四个点，这四点共圆，于是PQ是一个有理数因为Ptolomy定理里其它数全部是整数。）引入一个新点P增加了n个新有理数距离，记这n个有理数最大公分母为M。最终只需要把这个新图扩大到原来M倍即可。归纳法成立，故有这个命题。
反证法证实
现就“若平面上四点连成四边形对角互补。那么这个四点共圆”证实以下（其它画个证实图如后）
已知：四边形ABCD中，∠A+∠C=180°
求证：四边形ABCD内接于一个圆（A，B，C，D四点共圆）
证实：用反证法
过A，B，D作圆O，假设C不在圆O上，点C在圆外或圆内，
若点C在圆外，设BC交圆O于C’，连结DC’，依据圆内接四边形性质得∠A+∠DC’B=180° ，
∵∠A+∠C=180° ∴∠DC’B=∠C
这和三角形外角定理矛盾，故C不可能在圆外。类似地可证C不可能在圆内。
∴C在圆O上，也即A，B，C，D四点共圆。
2证实方法
方法1
从被证共圆四点中先选出三点作一圆，然后证另一点也在这个圆周上，若能证实这一点，即可肯定这四点共圆．
方法2
把被证共圆四个点连成共底边两个三角形，且两三角形全部在这底边同侧，若能证实其顶角相等(同弧所正确圆周角相等），从而即可肯定这四点共圆。
几何描述：四边形ABCD中，∠BAC=∠BDC，则ABCD四点共圆。
证实：过ABC作一个圆，显著D一定在圆上。若不在圆上，可设射线BD和圆交点为D'，那