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平面几何中线段相等的证明几种方法
平面几何中线段相等的证明看似简单,但方法不当也会带来麻烦,特别是在有限的两个小时考试中。恰当选用正确的方法,可取得事半功倍的效果。
一、利用全等三角形的性质证明线段相等
这种方法很普遍,如果所证两条线段分别在不同的三角形中，它们所在三角形看似全等，或者,通过简单处理,它们所在三角形看似全等,可考虑这种方法。
[例１］如图,Ｃ是线段AＢ上一点,△ACD和△:AＥ=ＢＤ.
证明　∵△AＣB和△BＣＥ都是等边三角形
∴∠ACD=60°，∠BCＥ=60°,∠DCＥ=6０°
∴∠ＡCE=∠ACD+∠ＤCE=120°
∠ＢCD=∠BCE＋∠DＣE=120°
∴ＡC＝CD,CＥ=CB
∴△ACＥ≌△DＣB（ＳAS）
∴ＡＥ=DＢ
[例２］如图，已知△ABＣ中,AB=AC，点E在AＢ上,点F在AC的延长线上，且BＥ=CF，ＥF与BＣ交于D，求证:ＥD=ＤF。
证明：过点E作EG//AＦ交BＣ于点Ｇ
∴∠EGB=∠ACB,∠ＥGＤ＝∠FCD
∵AB=ＡＣ
∴∠B＝∠ＡCB，∠B=∠FGＢ，BE＝GE
∵BE=CF,∴GE=CF
在△EGＤ和△ＦＣＤ中，
∠ＥGＤ=∠FＣＤ,∠ＥDＧ=∠FDＣ，ＧＥ＝CF
∴△EGD≌△FCＤ(AAＳ) ∴ED=FD
二、利用等腰三角形的判定(等角对等边）证明线段相等
如果两条所证线段在同一三角形中,证全等一时难以证明，可以考虑用此法。
[例1]如图,已知在△ＡＢC中,AD是ＢC边上的中线,Ｅ是AD上的一点,且BE=AC，延长BE交ＡC于F。
求证：AＦ=EF.
证明：延长ＡD到Ｇ,使DG=AＤ，连结BG。
∵AD＝ＧD,∠AＤC=∠ＧDＢ，CD=BD
∴△ADC≌△ＧＤB
∴AC=ＧＢ,∠ＦAE=∠ＢGE
∵BＥ=AＣ
∴BE=ＢG，∠BGE=∠BEG
∴∠ＦAE＝∠ＢＧE＝∠ＢEＧ=∠AEF
∴AE=EF
[例2]如图,已知△ＡBC中,ＡＢ=AC，DＦ⊥ＢＣ于F,DＦ与AＣ交于E，与BＡ的延长线交于D，求证：AD=AＥ.
证明：∵ＤF⊥BＣ
∴∠ＤFB=∠EFC=9０°，∠D＝90°-∠B，∠CEF=90°－∠Ｃ
∵ＡB=ＡC,∴∠B=∠C
∴∠D＝∠CＥF
∵∠ＣEF=∠ＡＥD
∴∠D=∠ＡED
∴AD＝AＥ
三、利用平行四边形的性质证明线段相等
如果所证两线段在一直线上或看似平行,用上面的方法不易，可以考虑此法。
［例1]如图,△ABC中，∠Ｃ=90°,∠Ａ=30°,分别以AＢ、AC为边在△ABC的外侧作正△AＢＥ和正△ＡCD,DE与AB交于F，
求证:ＥF=ＦD。
证明:过D作DO⊥ＡC交AＢ于点O
∵OD垂直平分AC,∠ACB=90°
∴BC⊥AC
∴O点必为AB的中点,连结ＥＯ,则EO⊥AB
∵∠CAB=3０°，∠BAE=∠CAＤ＝60°
∴ＡD⊥AB，ＡE⊥ＡC
∴ＯＥ//AD,AＥ／/ＯD
∴四边形ODAE为平行四边形
∴ＥF＝FD
[例2］如图,ＡＤ是△ABC的中线,过DC上任意一点F作EG／/AB，与ＡC和ＡＤ的延长线分别交于G和E，FH/／AC,交AＢ于点Ｈ.
求证：HG=BE。
证明:延长AD到Ａ”,使DA”=AD
又∵BD＝CD
∴四边形ＢＡCＡ”是平行四边形
∴BA=A”Ｃ
由题设可知HFGA也是平行四边形
∴HF=AG
∵HＦ／/AC,∴
又∵,HF＝AG,BA=Ａ”Ｃ
∴ＢＨ=EG
∴四边形BEGH是平行四边形
∴ＨG＝BE
四、利用中位线证明线段相等
如果已知中含有中点或等边等,用上面方法较难,可以考虑此法。
［例1]如图,以△ＡＢC的边ＡB、AC为斜边向外作直角三角形ABD和ＡＣＥ,且使∠ABD＝∠ACE，Ｍ是BＣ的中点。
证明：DM=EM。
证明：延长BD至F,使DF＝BＤ．
延长CE到G，使EG=CE,连结AF、FC，连结AG、BG
∵BＤ＝FD,∠ADＢ=∠ADF=90°，AD=AD
∴Rｔ△ABD≌Rt△AFD
∴∠BAD=∠FＡD
同理可得：∠CAE=∠GAE
∵∠ABD＝∠ACE
∴∠FAB=∠GＡC，故∠FＡC=∠GＡＢ
在△AＢG和△AFC中，
ＡＢ＝AF，∠ＧAB=∠CAF,AG=AC
∴△ABG≌△ＡFC
∴BG＝FC
又∵DF=DB，ＥC=EG,Ｍ是BC的中点
∴DM=＝EM，即DM=EＭ
［例2]如图,△ABC中，∠C为直角,∠Ａ＝3０°,分别以AB、AC为边在△ABＣ的外侧作正△ABE与正△ＡＣＤ，DE与ＡＢ交于Ｆ。
求证：EF=FD．
证明：过D作ＤG//AB交EA的延