概率论与数理统计徐雅静版.docx

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习题答案
第 1 章
三、解答题
1．设 P(AB) = 0，则下列说法哪些是正确的？
A和 B不相容；
A和 B相容；
AB 是不可能事件；
AB 不一定是不可能事件；
P(A)=0或P(B)=0
P(A –B) = P(A)
解： (4) (6) 正确 .
2．设 A， B 是两事件，且 P(A) = ，P(B) = ，问：
在什么条件下 P(AB)取到最大值，最大值是多少？
在什么条件下 P(AB)取到最小值，最小值是多少？
解：因为
P(AB)
P( A) P(B)
P( A
B) ，
又因为 P(B)
P( A
B) 即 P(B) P(A
B)
0. 所以
(1)
当 P(B)
P( A
B) 时 P(AB) 取到最大值，最大值是
P( AB)
P( A) =.
(2)
P( A B) 1时 P(AB) 取到最小值，最小值是
P( AB)=+-1=.
3．已知事件 A，B 满足 P( AB )
P( AB ) ，记 P(A) = p，试求 P( B) ．
解：因为 P( AB)
P(AB) ，
即 P(AB)
P( A
B) 1 P(A
B)
1
P( A)
P(B)
P( AB) ，
所以 P( B)
1 P( A) 1 p.
4．已知 P(A) = ， P(A –B) = ，试求 P( AB ) ．
解：因为 P(A –B) = ，所以 P( A )–P(AB) = , P(AB) = P(A )–,
又因为 P(A) = ，所以 P(AB) =–=， P( AB ) 1 P( AB ) .
5． 从 5 双不同的鞋子种任取 4 只，问这 4 只鞋子中至少有两只配成一双的概率是多少？
解：显然总取法有
法一：分两种情况考虑：

n C104 种，以下求至少有两只配成一双的取法 k ：
k C51 C42 (C21 ) 2 + C52
其中： C15C 42 (C21 )2 为恰有 1 双配对的方法数
法二：分两种情况考虑： k C51 C81 C61
+ C52
2!
1
2
其中： C51
C81
C61
为恰有 1 双配对的方法数
2!
法三：分两种情况考虑：
k
C51(C82
C41 )+ C52
其中： C51 (C82
C41 ) 为恰有 1 双配对的方法数
法四：先满足有 1
双配对再除去重复部分： k
C51C82
- C52
法五：考虑对立事件：
k
C104 - C54 (C21 ) 4
其中： C54 (C 21 )4 为没有一双配对的方法数
法六：考虑对立事件：
k
C104C101
C 81
C61 C41
4!
C101 C81 C61 C41
其中：
4!
为没有一双配对的方法数
所求概率为 p
k
13 .
C104
21
6．在房间里有 10 个人，分别佩戴从 1 号到 10 号的纪念章，任取 3 人记录其纪念章的号码．求：
求最小号码为 5 的概率；
求最大号码为 5 的概率．
解： (1) 法一：
法二：

C52
1
p
12
C103
C42
1
p
20
C103

，法二：
，法二：

C31 A52
1
p
12
A103
C31 A42
1
p
20
A103
7．将 3 个球随机地放入
4 个杯子中去，求杯子中球的最大个数分别为
1， 2， 3 的概率．
解：设 M1, M 2, M 3 表示杯子中球的最大个数分别为
1，2，3 的事件，则
P(M1)
A43
3
P(M