椭圆常结论及其结论(完全版).docx

椭圆常用结论
一、椭圆的第二定义 :
一动点到定点的距离和它到一条定直线的距离的比是一个
(0,1) 内常数 e，那么这个点的轨
迹叫做椭圆
其中定点叫做焦点，定直线叫做准线，常数
e 就是离心率 （点与线成对出现，
左对左，右对右 ）
对于 x 2
y 2
1，左准线 l1
: x
a 2
；右准线 l 2 : x
a 2
a 2
b 2
c
c
对于 y 2
x2
1，下准线 l1
: y
a 2
；上准线 l 2 : y
a 2
a 2
b2
c
c
椭圆的准线方程有两条，这两条准线在椭圆外部，与短轴平行，且关于短轴对称
焦点到准线的距离
a 2
a2
c 2
b2
p
c
（焦参数）
c
c
c
P
y
B2
A1
x
A2
F1 O F2
B1
二、焦半径
圆锥曲线 上任意一点 M 与圆锥曲线焦点的连线段，叫做圆锥曲线焦半径。
椭圆的焦半径公式：
焦点在 x 轴（左焦半径）
r1 a ex0 , （右焦半径） r2 a
ex0 , 其中 e 是离心率
焦点在 y 轴
MF1
a
ey0 , MF 2
a ey0 其中 F1 , F2 分别是椭圆的下上焦点
焦半径公式的两种形式的区别只和焦点的左右有关，而与点在左在右无关
可以记为： 左
加右减，上减下加
PF1
a
c, PF2
a c
推导：以焦点 在 x 轴为例
如上图，设椭圆上一点 P x0 , y0

，在

y 轴左边

.
PF1
e ，
根据椭圆第二定义，
PM
则 PF1 e PM e x0
c2
e x0
a2
c x0
a2
a ex0
c
c
a
c
同理可得 PF2 a ex0
三、通径：
圆锥曲线（除圆外）中，过焦点并垂直于轴的弦，以焦点在 x 轴为例，
AB
b2
b2
坐标： A c,
， B c,
a
a
弦 AB 长度： AB
2b2
a
四、若 P 是椭圆： x 2
y 2
1 上的点 . F 1,F 2 为焦点，若
F 1PF 2
，则
PF 1F 2 的面积为
a 2
b 2
b 2 tan .
2
推导：如图 S PF F
1 PF1 PF2 sin
1
2
2