球的切接问题专题.docx

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专题：球的切接问题
一．知识点
1 ． 正方体的内切球 ：球与正方体的每个面都相切，切点为每个面的中心，显然球心
为正方体的中心。设正方体的棱长为
a ，球半径为 R 。
如图 1 ，截面图为正方形 EFGH 的内切圆，得 R
a
；
2
2 与正方体各棱相切的球 ：球与正方体的各棱相切，切点为各棱的中点，
如图 2 作截面图，圆 O 为正方形 EFGH 的外接圆，易得 R 2 a 。
2
3 正方体的外接球 ：正方体的八个顶点都在球面上，
如图 3 ，以对角面 AA1 作截面图得，圆 O 为矩形 AA1C1 C 的外接圆，易得 R A1O
3
a 。
2
图 1 图 2
图 3

4. 正四面体的外接球和内切球
如图 4 所示，设点 O 是内切球的球心， 正四面体棱长为 a ．由图形的对称性知，
点 O 也是外接球的球心．设内切球半径为 r ，外接球半径为 R ．
正四面体的表面积 S表 4 3 a2 3a 2 ．
4
图 4
1
3
小结 :正四面体内切球半径是高的
，外接球半径是高的
4
4
长方体的外接球 ：即正方体的各顶点都在球面上。
设长方体的棱长分别为 a ， b ， c。怎么作平面截图来反映半径和边长的关系？
联想正方体的外接球，过长方体的对角面的作截截面图
2R
a
b2
c2
（ 4 ）
结论：由图形（
a 2
b2
c2
4 ）我们可以发现外接球的半径R
2
-可编辑修改 -
。
二、题型与方法归类
例 1、（ 1 ）若棱长为 3 的正方体的顶点都在同一球面上，则该球的表面积为 ________．
本题主要考查简单的组合体和球的表面积．画出球的轴截面可得，球的直径是正方体的对角
3 3
线，所以有球的半径 R＝ ，则该球的表面积为 S＝4 πR2 ＝27 27 π
2
求棱长为 1 的正四面体外接球的体积．
R＝
6
，
4
4
4
6
6
∴V 球 ＝ πR3 ＝ π(
4
)3 ＝π.
3
3
8
变式练习 :
1 已知各顶点都在一个球面上的正四棱柱高为
4，体积为
16 ，则这个球的表面积 ()
A． 16 π
B． 20 π
C． 24 π
D ． 32 π
2 已知正方体外接球的体积是
32