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常系数非齐次线性微分方程
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第九节
一、
二、
第十二章
二阶常系数线性非齐次微分方程:
根据解的结构定理, 其通解为
非齐次方程特解
齐次方程通解
求特解的方法
根据 f (x) 的特殊形式,
的待定形式,
代入原方程比较两端表达式以确定待定系数.
①
—待定系数法
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一、
为实数,
设特解为
其中为待定多项式,
代入原方程, 得
(1) 若不是特征方程的根,
则取
从而得到特解
形式为
为 m 次多项式.
Q (x) 为 m 次待定系数多项式
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(2) 若是特征方程的单根,
为m 次多项式,
故特解形式为
(3) 若是特征方程的重根,
是 m 次多项式,
故特解形式为
小结
对方程①,
此结论可推广到高阶常系数线性微分方程.
即
即
当是特征方程的 k 重根时,
可设
特解
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例1.
的一个特解.
解: 本题
而特征方程为
不是特征方程的根.
设所求特解为
代入方程:
比较系数, 得
于是所求特解为
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例2.
的通解.
解: 本题
特征方程为
其根为
对应齐次方程的通解为
设非齐次方程特解为
比较系数, 得
因此特解为
代入方程得
所求通解为
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例3. 求解定解问题
解: 本题
特征方程为
其根为
设非齐次方程特解为
代入方程得
故
故对应齐次方程通解为
原方程通解为
由初始条件得
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于是所求解为
解得
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二、
第二步求出如下两个方程的特解
分析思路:
第一步将 f (x) 转化为
第三步利用叠加原理求出原方程的特解
第四步分析原方程特解的特点
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第一步
利用欧拉公式将 f (x) 变形
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