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第四章 Taylor 公式 2008 /11/26 § 函数的微分一、问题的提出实例:? 0x 0x , 00xxx??变到设边长由, 2xA?正方形面积? 20 20)(xxxA??????.)(2 20xxx?????)1()2(;, 的主要部分且为的线性函数 Ax??., 很小时可忽略当的高阶无穷小 xx??:)1(:)2( x?x? 2)(x?xx? 0xx? 0 再例如,., 0 3yx xxy???求函数的改变量时为处的改变量在点设函数 30 30)(xxxy?????.)()(33 320 20xxxxx????????)1()2(, 很小时当x?.3 20xxy?????),()2(xox??的高阶无穷小是既容易计算又是较好的近似值问题:是否所有函数的改变量都对应有一个线性函数(改变量的主要部分)?它是什么?如何求? 二、微分的定义,)( 在某区间内有定义设函数 xfy?, 00 在这区间内及xxx??如果)()()( 00xoxAxfxxfy??????????),( 无关的常数是与其中成立 xA?则称函数)(xfy?, 0 可微在点 x 为函数并且称 xA??相应于自变量在点 0)(xxfy?, 的微分增量 x?定义: . 的线性主部叫做函数增量微分 ydy?(微分的实质) 记作),( 0 0xdfdy xx或?. 0xAdy xx????即由定义知:;)1( 的线性函数是自变量的改变量 xdy?;)()2( 高阶无穷小是比 xxodyy?????;,0)3( 是等价无穷小与时当ydy A??dy y??xA xo?????)(1 ).0(1???x;)(,)4( 0 有关和但与无关的常数是与 xxfxA?).(,)5( 线性主部很小时当dyyx???三、可微的条件).(,)( )( 00 0xfAxxf xxf??且处可导在点数可微的充要条件是函在点函数定理证(1) 必要性,)( 0 可微在点 xxf?),(xoxAy???????, )(x xoAx y???????x xoAx y xx??????????)( lim lim ?).(,)( 00xfAxxf ??且可导在点即函数(2) 充分性,)( 0xxxfy?????????从而,)( 0??????xfx y即,)( 0 可导在点函数 xxf?),( lim 00xfx y x???????),0(0????x?),()( 0xoxxf??????.)(,)( 00Axfxxf???且可微在点函数).(. 0xfA ????可微可导.)( ),(, ,)(xxfdy xdfdy xxfy???? .0,2 3 时的微分当求函数????xxxyxxdy???)( 3?.3 2xx?? 02 .0 2 202 .0 23 ????????? x xx xxxdy .24 .0?., ,xdx dx xx???即记作称为自变量的微分的增量通常把自变量.)(dx xfdy ???).(xfdx dy??".". 微商导数也叫该函数的导数之商等于与自变量的微分即函数的微分 dx dy 四、微分的几何意义)(xfy? 0x M N Tdy y?)(xo?)x yo ? x?几何意义:(如图). , 对应的增量就是切线纵坐标坐标增量时是曲线的纵当dy y? xx?? 0 P . ,, MN MP M x 可近似代替曲线段切线段的附近在点很小时当?