§3 泰勒公式
一、带有佩亚诺型余项的泰勒公式
三、在近似计算中的应用
二、带有拉格朗日型余项的泰勒公式
要内容,也是数学的研究课题之一.
式来逼近一般的函数是近似计算的重
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在
处可导, 由有限增量公式
当
充分小时,
可以由一次多项式
近似地代替, 其误差为
. 在许多情况下,
一、带有佩亚诺型余项的泰勒公式
是不够的, 而要考虑用较高次
误差仅为
的多项式来逼近 f , 使得误差更小,
问题: 是否存在一个 n次多项式
使得
答案: 当 f (x)在点 x0 有n 阶导数时, 这样的 n 次多
设
则
有什么关系?
项式是存在的. 现在来分析这样的多项式与 f (x)
即
上式表明 Pn(x) 的各项系数是由其在点 x0 的各阶
设 f (x) 在 x0 处 n 阶可导. 如果
导数所确定的.
即
则不难得到:
式称为
在点
处的带有佩亚诺型余项的 n
阶泰勒公式.
注1
附近满足
也不能说明
一定是 f (x) 的n 阶泰勒多项式.
处满足(4) 但是当 n > 1 时,
不是
f (x) 在点的 n 阶泰勒多项式, 原因是 f (x)
在点 x = 0 的高阶导数(二阶和二阶以上)都不存
比如
在,所以无法构造 n 阶多项式.
注3
可以证明对任意一个n 次多项式
存在
使得
这也就是说,
是逼近
的最佳 n 次多项式.
注2 若 f (x) 在点 x0 有n 阶导数, 则只有惟一的多
项式( 泰勒多项式 Tn(x) ) 满足:
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