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函数单调性的判定方法
摘要：单调性是函数的一个重要性质，其在数学、经济学等诸多学科中均有广泛的应用。本文介绍了判断函数单调性的若干方法及一些结论，首先对于具体函数，由函数单调性的定义出发，依次给出了定义法、函数性质法、图像法、复合函数单调性判断法、导数法；其次对于没有给出具体函数表达式的抽象函数，给出了定义法和列表法，并且对于每种方法本文都给出了应用该方法的例子。对于同一个函数判定其单调性的方法可以有多种，而每种方法都有优缺点，在解题中应灵活选择方法，方可使解题过程更加简单。
关键词：复合函数 抽象函数 函数单调性 导数
Several methods of judging functional monotonicity
Abstract: Monotonicity is an important property of the function, and its in mathematics,economics, and so in many disciplines are widely used. This article describes a number of monotone functions to determine methods and some the specific function, by functional monotonicity definition ,it gives gives the definition method, function, properties, image method, the method of composite functional monotonicity judgment method, derivative method in turn .Did not give a specific function for the expression of abstract function, given the definition of law, and a list of the flexibility to choose the appropriate method of problem solving can be more simple and convenient. Keywords: Composite function Abstraction function Monotonicity Derivative.
函数的单调性是函数的重要性质，反应了随着自变量的增加函数值的变化趋势，它是研究函数性质的有力工具，在比较大小、解决函数图像、值域、最值以及在经济等诸多领域中均有广泛的应用，如：证券市场分析、财务管理等。在高中数学中我们已经学习和掌握了函数单调性的有关知识以及判断函数单调性的方法。学习函数单调性不仅仅是为了判断、证明函数单调性，更多是运用函数单调性解决相关的数学问题。

对于给出具体解析式的函数，由函数单调性的定义出发，本文列举的判断函数单调性的方法有如下几种：
定义法
首先我们给出单调函数的定义。一般地，设为定义在上的函数。若对任何、，当时，总有
(1)，则称为上的增函数，特别当成立严格不等时，称为上的严格增函数；
(2),则称为上的减函数，特别当成立严格不等式
时，称为上的严格减函数。
给出函数单调性的定义，我们就可以利用函数单调性的定义来判定及证明函数的单调性。用单调性的定义判断函数单调性的方法叫定义法。利用定义来证明函数在给定区间上的单调性的一般步骤：
（1）设元，任取,且；
（2）作差；
（3）变形（普遍是因式分解和配方）；
（4）断号（即判断差与0的大小）；
（5）定论（即指出函数 在给定的区间D上的单调性）。
。
证明：设,，且，则
由于，
则，即，所以在上是减函数。
在上的单调性。
证明：设、，且，则
，
又 所以，，
当、时，此时函数为减函数；
当、时，此时函数为增函数。
综上函数 在区间内为减函数；在区间内为增函数。
此题函数是一种特殊函数（对号函数），用定义法证明时通常需要进行因式分解，由于与0的大小关系不是明确的，因此要分段讨论。
用定义法判定函数单调性比较适用于那种对于定义域内任意两个数当时，容易得出与大小关系的函数。在解决问题时，定义法是最直接的方法，也是我们首先考虑的方法，虽说这种方法思路比较清晰，但通常过程比较