函数单调性判定方法.docx

函数单调性判定方法.docx函数单调性判定方法
许钦彪
函数的单调性是应用广泛的一个重要性质，现行全日制高中教科书（必修）人教社2003 年版高一教材在介绍了其定义以后，用三个简单的例子说明了单调性的判别和证明。在实际 教学时，应该在教材的基础上予以适当的补充，使 (x>3)
y = {5 (-2<x<3),简图如右，
l-2x (x<-2)
y在(yo,-2］上是减函数，在［3,+co)上是增函数，在［-2, 3］上是常数函数.
例4：讨论函数了 =殳主的单调性.
x-2
分析：先求出定义域(q,2) U (2,~h»),
2
函数化简成y = —3 ———.
x-2
它的图象由v =-二的图象向右平移2个单位，再向下平移3个单位得到.
x
对称中心为点(2, -3),如右图.
由图得y在(-oo,2)和(2,+oo)上都是增函数.
3、 利用定义判别
当不能化简作图或直接得到单调性的时候，可以尝试用单调性定义来判别.
例5：讨论函数八x) = ^-(«丰0)的单调性.
X — 1
分析：先求出定义域(-w,-l) U (-1,1) U (1,-HX)).
设明<«作差g)-E)= — A =心;
X］ 1 尤2 ］ (*1 1)(工2 1)
•.* 勺一毛 > 0，符号由 Cl, + 1，X： — 1,对—1 来确定，
对Q讨论：
Q〉0 时，在(-00,-1)和(1,+CO)上，+ 1 >。, X： — 1 > 0 , %2 - 1 > 0，
•,-/(^i)- f(^2)>0, /. f(x)是减函数。在(T, 1)上，xxx2 + l>0,x^-l<0,x|-l<0, f(x)是减函数
a < 0时，同理讨论可得到/*3)在(Yo,-l),(-l,l),(l,q)上都是增函数。
4、 复合函数单调性的判别
关于复合函数，可补充说明其单调性的结论，这对今后讨论指对数函数、三角函数等复 合函数的单调性非常重要和有益。
设 y = f(u),u = g(x),u关于工的单调区间x^［a,b］对应y关于〃的单调区间 u g (m, n),则容易证明复合函数y = 在(。,/?)上单调性如下：
u在(。,人)上增，y在(m, n) ±增，则y = f［g(x)］在(。,人)上增； u 在(。,/?)上减，
y 在(m, ri) ± 增，则 y = f［g(x)］在(。,/?)上减； u 在(。,人)上增，y 在(m, ri) ± 减，则 y = f［g(x)］在(。,/?)上减；
u 在(。,人)上减，y在(m, n) ±减，则y = f［g(x)］在(。,人)上增；
= 8 + 2x2-%4的单调性.
分析：该函数由V = 8 + 2" - "2和〃=工2复合而成。先看y关于”的单调性 y = -(u-l)2 + 9 ,当 U G (-oo,l ］时，y 增；we［l, + oo )时，y 减.
而"Ml 时，x2 < 1 , -1 < x < 1 ： "21 时，x2 > 1 , xM-1 或 xNl
又it = x1 当 xe(-co,0］时减；xe ［0, + 00)时增.
结论：当"£( — 8,1］,"减且M > 1 , y关于"减，所以y关于X增
当m e［-l,0］-