四点共圆判定.doc

四点共圆判定证明四点共圆的基本方法: 方法 1 从被证共圆的四点中先选出三点作一圆, 然后证另一点也在这个圆上,若能证明这一点,即可肯定这四点共圆. 方法 2 把被证共圆的四个点连成共底边的两个三角形, 且两三角形都在这底边的同侧,若能证明其顶角相等( 同弧所对的圆周角相等),从而即可肯定这四点共圆. (若能证明其两顶角为直角,即可肯定这四个点共圆,且斜边上两点连线为该圆直径。) 方法 3 把被证共圆的四点连成四边形, 若能证明其对角互补或能证明其一个外角等于其邻补角的内对角时,即可肯定这四点共圆. 方法 4 把被证共圆的四点两两连成相交的两条线段, 若能证明它们各自被交点分成的两线段之积相等, 即可肯定这四点共圆( 相交弦定理的逆定理); 或把被证共圆的四点两两连结并延长相交的两线段, 若能证明自交点至一线段两个端点所成的两线段之积等于自交点至另一线段两端点所成的两线段之积, 即可肯定这四点也共圆.( 割线定理的逆定理) 方法 5 证被证共圆的点到某一定点的距离都相等,从而确定它们共圆. 既连成的四边形三边中垂线有交点,即可肯定这四点共圆. 上述五种基本方法中的每一种的根据, 就是产生四点共圆的一种原因,因此当要求证四点共圆的问题时,首先就要根据命题的条件, 并结合图形的特点,在这五种基本方法中选择一种证法,给予证明. 判定与性质: 圆内接四边形的对角和为 180 °, 并且任何一个外角都等于它的内对角。如四边形 ABCD 内接于圆 O, 延长 AB和 DC 交至 E, 过点 E 作圆 O 的切线 EF, AC、 BD 交于 P ,则 A+C= π, B+D= π, 角 DBC= 角 DAC (同弧所对的圆周角相等)。角 CBE= 角 ADE (外角等于内对角) △ ABP ∽△ DCP (三个内角对应相等) AP*CP=BP*DP (相交弦定理) 四点共圆的图片 EB*EA=EC*ED (割线定理) EF*EF= EB*EA=EC*ED (切割线定理) (切割线定理,割线定理,相交弦定理统称圆幂定理) AB*CD+AD*CB=AC*BD (托勒密定理 Ptolemy ) 弦切角定理编辑本段编辑本段定理判定定理方法 1 把被证共圆的四个点连成共底边的两个三角形,且两三角形都在这底边的同侧, 若能证明其顶角相等, 从而即可肯定这四点共圆. ( 可以说成: 若线段同侧二点到线段两端点连线夹角相等, 那么这二点和线段二端点四点共圆) 方法 2 把被证共圆的四点连成四边形,若能证明其对角互补或能证明其一个外角等于其邻补角的内对角时,即可肯定这四点共圆. ( 可以说成: 若平面上四点连成四边形的对角互补或一个外角等于其内对角。那么这四点共圆) 托勒密定理[1] 若 ABCD 四点共圆( ABCD 按顺序都在同一个圆上),那么 AB*DC+BC*AD=AC*BD 。例题: 证明对于任意正整数 n 都存在 n 个点使得所有点间两两距离为整数。解答: 归纳法。我们用归纳法证明一个更强的定理: 对于任意 n 都存在 n 个点使得所有点间两两距离为整数, 且这 n 个点共圆, 并且有两点是一条直径的两端。 n=1 , n=2 很轻松。当 n=3 时,一个边长为整数的勾股三角形即可: 比如说边长为 3,4,5 的三角形。我们发现这样的三个点共圆, 边长最长的边是一条直径