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判定函数单调性的几种方法
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判定函数单调性的几种方法
　　函数单调性是函数知识应用最广泛也是最重要的性质。从高中接触函数单调性开始。我们先后学习并掌握了判定函数单调性的几种方法。:函数,单调性,判定函数单调性是函数知识应用最广泛也是最重要的性质,从高中接触函数单调性开始,我们先后学习并掌握了判定函数单调性的几种方法,本文将判定函
数单调性的多种方法给出,由于通过抽象函数来考察函数单调性的题目常常出现在各级数学试题中,这种题型比拟抽象,综合性较强,对学生的能力要求较高,学生往往难解其意,不能沟通数学符号及数学语言之间的内在联系,本文也将给出几种判定抽象函数单调性的方法。
⒈判定函数单调性的几种方法
一般地,设函数的定义域为:如果对于属于定义域内某个区间上的任意两个自变量的值,当时,都有(或),那么就说在这个区间上是增(或减)函数。给出定义后,我们就可利用定义判定函数的单调性。
例1讨论函数的单调性。
解:函数的定义域为,任取两个实数
故在上是增函数。参考。
例2讨论函数的单调性。
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解:指数函数的定义域为,任取两个实数,=
当时,,此时函数为增函数。
当时,此时函数为减函数。
我们知道,一个函数假设为严格增(或减)函数,那么其反函数也为严格增(或减)函数。那么我们就可利用这一性质判定函数的单调性。
例3讨论反余弦函数的单调性
解:因为是余弦函数在的反函数,在上为严格减函数,故在定义域上为严格减函数
幂函数指数函数对数函数三角函数反三角函数是五种根本初等函数,它们各有增减区间。那么我们就借助根本初等函数的性质来判定函数的单调性。
例4判断函数的增减性
解:依据指数函数单调性可知:在上是增函数
例5判断函数在上的单调性
解:依据幂函数单调性知:在上是减函数
定理1设有复合函数,当与同时为增(或减)函数时,函数为增函数,否那么为减函数。参考。
例6讨论函数的单调性。参考。
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解:先求出函数定义域:解得:或
函数的定义域为,令为减函数,在区间上为减函数,故在上为增函数,而在区间上为增函数,故在上为减函数
定理2假设函数为增(或减)函数,那么函数,当时为增(或减)函数,当时为减(或增)函数。
例7讨论函数的单调性
解:而为减函数,由定理2可知,为增函数
定理3正(或负)值函数假设为增(或减)函数,那么其倒函数在其公共定义域内为减(或增)函数。
例8讨论函数在区间上的单调性
解:在区间上是减函数,由定理3知,在区间上为增函数
定理4两个具有公共定义域的增(或减)函数之和仍为增(或减)函数
例9讨论