球面正弦,余弦定理证明.doc

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§4球面余弦定理和正弦定理
平面几何中的三角形全等判定条件说明了平面三角形的唯一性，到了平面三角学，把这种唯一性定理提升到有效能算的角边函数关系。其中最根本的就是三角形的余弦定理：设三角形 ABC 的三条边分别是 a 、 b 、 c ，它们的对角分别是、、，那么
其中，分别表示的余弦。三角形的正弦定理：设三角形 ABC 的三条边分别是 a 、 b 、 c ，它们的对角分别是、、，那么
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类似地，球面三角形也有有效能算的边角函数关系，其中最主要的结果就是球面三角的正弦定理和余弦定理。为证明球面三角余弦定理，我们介绍有关向量的另一种乘积—外积。两向量a与b的外积是一个矢量，记做a×b，它的模是|a×b|=|a||b|(a,b),它的方向与a,b都垂直，并且按a,b,a×b这个顺序构成右手标架。对于向量的外积，有拉格朗日恒等式成立。
a×b〕·(a’×b’)=(a·a’)·(b·b’)－(a·b’)·(b·a’)
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〔球面三角余弦定理〕在单位球面上，对于任给球面三角形，其三边和三角恒满足下述函数关系
〔证法一〕证明：如图4-1所示，
图4-1
是单位球面上的三点，以a,b,c分别表示单位长向量,那么球面三角形的三角角度和三边边长分别可以用空间向量a,b,c表达如下：是b,c之间夹角的弧度，所以cos=b·c,同理有cos=a·c, cos=a·b。是“a,b所X的平面〞和“a,c所X的平面〞之间的夹角，所以也等于a×b和a×c之间的夹角，即〔a×b〕·(a×c)=| a×b|·|a×c|cosA=同理亦有〔b×c〕·(b×a)=〔c×a〕·(c×b)=由〔a×b〕·(a×c)==cos－所以同理可证
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