球面正弦,余弦定理证明.docx

§4球面余弦定理和正弦定理
平面几何中的三角形全等判定条件说明了平面三角形的唯一性，到了平面三角学, 把这种唯一性定理提升到有效能算的角边函数关系。其中最基本的就是三角形的 余弦定理:设三角形ABC的三条边分别是a、b、c，它们的对角分别cXb)=血加血诅
由(aXb)・(aXc)=^ 阳垃右c^/^cos^ —匚。比匚0兀
所以 coscj = cos^cosc + sin isin ccos A
同理可证
cos h = cos a 匚osu +sin a sin c cos B
cos c = cos a cosi1 + sin a sin i1 cos C
当单位球面上的球面三角形三边都小于空时,可以用平面三角余弦定理证明球面
三角余弦定理。证明如下：
取球面三角形遊亡，将各顶点与球心O连接，过顶点A作b,c边的切线，分别 交OC,OB的延长线于N,M,由此得到两个平面直角三角形和两个平 面三角形妙。在△。泗中，根据平面三角形的余弦定理，有
W3 二 0^ + OM2- 2GM ■ OTcoslj。
同理在曲曲/中 W3 = /矿+AM2 - 2AM- A肌眺A
因此澎-^-OM2-2OM = AN2 - 2AM A
即 20A1 - 20M ■ ONcosa= -2AM■ AMcoe A
+ COS A =匚OS£J
即 OM ON OM ON
04 CM AM AN .
艮卩得 匚05区=cosbcosc + srn ism ccos A
同理可证
cos b = cos a cosc +sin a sin c cos B cos c = cos a cosi1 + sin(3 sin i cos C
（证法2）证明：设球心为O,连接OA、OB、OC，则
图 4-2
过点A做勺方的切线交直线OB于D,过点A做仏仏的切线，交直线OC于E,连 接DE (如图4-2所示)。
显然，AD丄AO，AE丄AO，在直角三角形OAD中，AO=1，
AD二仙 二 tanc，
1 _ 1
0D二匚cost 。
在直角三角形OAE中，
AE二 tan ^AOC = tani，
1 _ 1
OE二匚m cosb 。
注意ZJ=Z^r)o在三角形ODE中，利用平面三角形的余弦定理()，
DE2 = OD2 十 0护一2ODOEC0 必芳OC
1 1 2
=——+—— COSLJ
cos c cos i 匚OSC，COE上1
(1)
在三角形ADE中,
DE2 =AD2十曲—2局」：氐伉乙A
=tan2c + tan 2b 一 anc -1anbcosZA
(2)
因为(1)式与(2)式左端相等，所以右端也相等，经化简整理，即得
cosa = cosb - cosc + smb - sine - cosZA
类似地可以得到另外两式。
* =
当三角形有一个内角为直角时，比如
㊁，则由球面三角余弦定理有
cos^ = cosicost。这恰好是平面几何中的勾股定理在球面几何中的对应物，但
形式上有了很大差别。我们称之为球面勾股定理。
（球面三角正弦定理）在单位球面上，对于任给球面三角形肌配，其
三边说月戏和三角扎艮。恒满足下述函数