系统仿真技术 第4章频域仿真建模方法学
剡昌锋刘军
兰州理工大学机电工程学院
频域仿真建模方法学
频域仿真建模方法:面向S域的传递函数G(s),根据相似原理,得到与它相匹配的Z域传递函数G(z)。
“匹配”:包括动态性能----G(s)的零点、极点要与相应G(z)的零、极点匹配
稳态性能----对于同一个输入函数,终值相同
替换法
已知,这是一个超越函数,不能直接用它来替换。
、欧拉替换
微分方程: ,根据欧拉积分公式:
所以可得
即
欧拉替换法(续)
因为故有: 即
欧拉替换:简单,但是稳定性差,并不实用。下面分析其稳定性:
设有
则
对于Z平面上的单位圆,有,故
也就是:
欧拉替换法(续)
Z平面上的单位圆按该替换式反映射到S平面上,将是一个以(-1/T,0)为圆心,以1/T为半径的圆。
一个原来稳定的系统G(s),通过替换得到的仿真模型G(z)却可能是不稳定的。
S域到Z域的映射关系
双线性替换
观察梯形积分公式:
可得:
即: 称为双线性替换公式
也可写成为:
即:
双线性替换(续)
若,则;若,则=1,
而若>0,则>1。
这就是说,Z平面上的单位圆,映射到S平面上将是整个左半平面,其逆也真。
即如果原来G(s)稳定,那么G(z)也是稳定的。
线性化替换的映射关系
双线性替换(续)
程序替换算法
设线性系统的传递函数为
(1)
在双线性替换下得到的Z传递函数为:
(2)
由ai,bi(i=0,1,…,n) 确定di,ei (i=0,1,…,n)
双线性替换(续)
直接将双线性替换公式代入G(s),可得:
将其分子、分母同乘以,可得:
双线性替换(续)
将, 写成向量形式:
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