费马点-的两证明方法.docx

费马点的证明方法
费马点，就是平面上到三角形三顶点距离之和最小的点。
当三角形有一个内角大于或等于一百二十度的时候，费马点就是这个内角的顶
点；如果三个内角都在120度以内，那么，费马点就是使得费马点与三角形三顶 点的连线两两夹角为120度的点。
1、费马点不在三角形外，这个就不用证了，很显然。但为了严谨，还是说一下
2、当有一个内角大于等于120度时候
对三角形内任一点P
延长 BA 至 C使得 AC=AC,做ZCAP= ZCAP,并且使得 AP'=AP, PC,=PC,（说
了这么多，其实就是把三角形APC以A为中心做了个旋转） 则△APCBZiAP'C'
vZBAC>120°
「•NPAP=1800 -NBAP-NCAP=18O° -ZBAP-ZCAP=1800 -ZBAC<60°
・•.等腰三角形PAP中，APNPP
/. PA+PB+PC >PPt+PB+PCt>BC-AB+AC
所以A是费马点
3、当所有内角都小于120°时
D
做出 AABC 内一点 P, WZAPC=ZBPC=ZCPA=120° ,分别作 PA,PB,PC 的
垂线，交于D,EA三点，如图，再作任一异于P的点P,连结PAFBpC,过
P作PH垂直EF于H
易知ND=NE=NF=60° ,即^DEF为等边三角形，计边长为d,面积为S
则有 2S=d(PA+PB+PC) ••,PWAPH
所以 ZSAEP'FCP^d
同理有
2SADP'F<P,B*d
2SAEPT><P'C*d
相加得 2S<d(P,A+P*B+P*C)
即PA+PB+PCWP'A+P*B+PC,当且仅当P,P重合时取到等号
所以P是费马点
虽然不知道费