快速评卷公平分配问题.doc

1 快速评卷策略摘要本文针对像确定数学建模这种形式的比赛问题中的优胜者问题建立了相应的数学模型。根据评卷过程中需要评阅的答卷数,竞赛资金、能够聘请的评阅人数和评阅时间等条件的限制,解决快速评卷的问题。是确定一个评卷策略使每个人评阅答卷的数量尽量的小,并能够评出优胜者的模型, ,所以此问题是优化问题。对于此问题我们还应考虑模型的公平性。首先,对于评卷流程我们选择了圆桌模型,即我们把所有人看成围在一个圆桌批阅, 彼此是相互独立,互不影响的。每个评阅人员在批阅之前,分别拿到随机均等的答卷, 然后通过打分,再排序,淘汰排序下面的 30% 答卷,之后将答卷统一轮换,再给下一个人评阅,以此进行下去,直到每个人手中剩有 2W 答卷后,采取分组评阅再淘汰,在淘汰的过程中我们并不是只考虑一个人的评分,而是将此卷被评阅的分数加权求平均作为新的分数,以减小评委们个人偏好产生的系统误差,这样就保证了公平。我们的模型不仅基本可以保证了 W 是从最优秀的 2W 份中选出的,而且因为打分进行的排序的过程, 对于选出的 W 份优胜答卷也可以有一个排名,使得评卷过程就更完善。评卷的过程评卷份数要尽量的小,于是我们建立目标函数为: 1 min Jii Z P ???,对于公平性引入加权平均值: 1 1 2 2 j j j j j ij ij x k x k x k x ? ????。选择 100 P?,8J?,3W?, 借助计算机模拟 1000 次,每次随机产生 100 个服从正态分布 N(70 ,100) 的整数,按照圆桌模型的流程,求得总的最少批阅答卷份数为 296 份,平均每位评委批阅 37 份。经过优化后的模型求得总的最少阅卷数为 256 ,平均每位评委批阅 32份. 与理想情况(每个评阅人看所有的答案,并将它们一一排序,总共要阅 800 份试卷)相比,总共节约了 544 个单位阅卷时间,同比节约 68% 的时间。关键词:公平高效圆桌模型 2 1. 问题重述 问题的背景为了了解学生掌握知识和运用知识的能力,培养学生的综合素质,相关部门组织了一系列大型的竞赛,这类竞赛带有选拔,淘汰的性质;目前,考前考中以做到了基本公平,但在阅卷过程中受人为因素,环境因素影响较大,因此在竞赛中如何做到在公平公正的前提下尽可能减少阅卷工作量是我们应该考虑的问题。 问题的相关信息在确定大型竞赛的优胜者时,常常要评阅大量的答卷,比如说,有 P=100 份答卷。一个由 J位评阅人组成的小组来完成评阅任务,基于竞赛资金,能够聘请的评阅人数和评阅时间的限制,如果 P=100 ,通常取 J=8. 理想的情况是每个评阅人看所有的答案,并将它们一一排序,但这种方法工作量太大。另一种方法是进行一系列筛选,在一次筛选中每个评阅人只看一定数量的的答卷。为了减少所看答卷的数量,考虑如下的筛选方法:如果答卷是排序的,则在每个评阅人给出的排序中排在最下面的 30% 答卷被淘汰;如果答卷没有排序,而是打分(比如说从 1分到 100 分),则某个截止分数线以下的答卷被淘汰。这样,通过筛选的答卷重新放在一起返回给评阅小组,重复上述过程,每个评阅人看的答卷总数要显著地小于 P 。评阅过程直到剩下 W 份答卷时停止,这些就是优胜者。当P=100 通常取 W=3 。 本文需要解决的问题利用排序、打分及其他方法的组合,确定一种筛选方法,按照这种方法,最后选中的W份答卷只能来自“最好的”2W份答卷,例如,给出方法得到的最后 3份答卷将全部包括在“最好的”6 份答卷中,在所有满足上述要求的方法中,如何给出使每个评阅人所看答卷份数最少的一种方法。注意在打分时存在系统偏差的可能,因此如何在给出的方法中如何调节尺度来适应竞赛参数( P,J和W)的变化是需要我们的模型来解决的。 2. 模型假设与符号说明 模型假设假设 1:评阅人打分具有统一的评分标准。假设 2:对于淘汰后的答卷我们不在给予评阅。假设 3:批阅答卷彼此独立,互不讨论,避免主观因素影响。假设 4:每一组里每一份试卷的编号是随机的,等可能性的。假设 5:评阅人并不知道每一份试卷来自哪里。假设 6:评阅人有一定的评阅能力。 3 符号说明符号符号说明 P 答卷的总份数 W 优胜的答卷份数 J 聘请的评阅人员总人数 Z 本次评阅答卷的总份数 iP 第i 个评阅人员批阅答卷的总份数 a 轮换淘汰时的淘汰率 n 淘汰过程中筛选的次数 nn 每次淘汰后所剩下的总答卷数 ijx 第i 个人对第 j 份答卷的评分分数 jx 所有人对第 j 份答卷的加权平均分 ijk 计算加权平均值的系数 3. 问题分析在确定大型竞赛的优胜者时,常常要评阅大量的答卷,对于评阅人来讲是一个很大的工作量,如果分配试卷