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单摆教学中的几个等效问题
魏自成
在物理问题中， 一个过程或一个状态的确定，往往由多个因素所决定，在这些因素
中，有些或某一个因素是等效的， 他们可以互相代替， 而对过程中发展规律和状态的确定及最后结果无影响，这种研究问题的方法就是等效法。尤其是一些问题，从正面分析求解时，
演算冗长， 计算复杂或超出中学数学知识范畴。 若用等效替代法， 则能独辟路径， 化繁为简，
收到事半功倍的效果，本文以单摆为例，阐明存在的几个等效问题。
悬点的等效
一、 l 为等效摆长
摆长的等效
例 1、如图 1、三根等长的绳 L 1、 L2 、L 3 共同系住一密度均匀的小球 m，球的直径为 d，L 1 、L2 、与天花板的夹角 α ＜ 30°
若摆球在纸面内做小角度的左右摆动，则振动周期
T 1=
l 2
l 3
o'
；若摆球在垂直于纸面的平面内小角度摆动，则振动的周
期 T2=
l 1
解析：
摆球在纸面内做简谐运动，
O1 为圆弧的圆心，也为悬点，摆长为
1
1
2
m
=
L1 d / 2
L +d/2
，周期 T
g
图一
摆球做垂直于纸面的简谐振运动， 摆动圆弧的圆心在 O 点，所以等效摆长为 L 1+L 2sinα +d/2,
周期 T2=
L1 L2 d / 2
2
g

A o α B
例 2、如图 2、一双线摆两摆线长都是 L 与水平天花板

L
夹角为 α 了，当摆球在垂直纸面内做简谐运动时，此摆周期
T=
解析：
此悬点等效在
O 点，摆长为 l, = α .从而 T= 2
L sin / g
M
图二
二、 g 理解为等效加速度
例如单摆置于加速度为
a 且匀加速上升的升降机中，处于超重状态，加速度
’
g =
(g+a),此时回复力切向分力视重为
m(g+a), 不论摆处于什么情况下，在其平衡位置
“产生”加速度可等
o'
效为单摆的“重力”加速度，
例 3、如图 3 ，在倾角为 α 的光滑斜面上，有一摆
o
长为 l 的单摆，球的质量为 m，
α
当单摆运动时，求其周期。
图三
解析：
小球在振动时，静止在
o 点，所以其平衡位置是
o 点，等效重力是（
’
mg） =
’
Mgsina, 等效加速度 g =gsina,则单摆周期 T=2 π l / g sin a
例 4
如图 4 所示，光滑斜面倾角为
θ 了，斜面上有一挂有单摆
的小车，在小车下滑过程中，单摆同时振动，已知摆长为 l，求单
摆的振动周期。
解析： 小球若不摆动，随小车一起加速下滑，其平衡位置如图
所示，悬线拉力
即视重 T=mgscosθ ,单摆做简谐运动时，等效重力加速度
’T