巧用函数单调性妙解数学题.docx

巧用函数单调性妙解数学题.docx巧用函数单调性妙解数学题
范运灵
函数是高中数学的重要内容，函数的单调性又是函数的重要性质。在求解某些数学问题 时，若能根据题目的结构特征，构造出一个适当的单调函数，往往能化难为易，化繁为简， 获得巧解和妙解。下面举例说明。
巧求代数则 g（X）max = g（D = "I
所以a>-l

： / =4% ,「是（2的焦点，过点F的直线/与C相交于A, B两点,
— — r -I
设FB = AAF o若2e 4, 9 ,求/在y轴上的截距的变化范围。
解：设 AO” 北），5（%2, 由 FB = AAF ,得
力）
%2 — 1 = 4(1 — X])
<〜
丁2 = -独
= 4邑
2 .
〔>2 =4改
⑶
(4)
联立(1) (2) (3) (4),
解得习=人
所以B（A, 2JI）或以，-必）
所以/的方程为(人一l)y = — 1)或(A — l)y = —2y[A(x — 1)
当y e［4, 9］时，/在y轴的截距为 /或丰｛
1- 」 A — 1 Z — 1
令f（4）=一，则 X — 1
空-2VI ¥
广以)=旻———=—^― < 0 以-1)2 以-顶
所以/'(人)在[4, 9]上是减函数
3
故丁
271
2-1
-271 < 3
2-1--4
所以直线/在y轴上截距的取值范围是:
[T部寿i]

｛如｝是等差数列，气=1, b｛ +b2 + "■ +bl0 = 145 o
求数列也“｝的通项公式；
设数列｛《,｝的通项an = logfl(l + ^-)(<2>0,且。？1), Sn是数列｛弓｝的前n项 和，试比较S“与|logaZ?„+1的大小，并证明你的结论。
解：(1)由 bx +b2 + +bw = 145 ,机=1
…八 7 Wx 9 . .L
有 IO/?】H d = 145
得d = 3
因此 bn=bx + (n-1)3 =3n-2
(2) Sn =log〃(l + l)+logJl + £) + …+log〃" +荔9
= log. (1 + 1)" + 小(1 +
1 3
§logM.+i = log〃V3〃 + l
设为)5时中
3n-2.
V3n +1
(n为正整数)
3n - 2 (1 + 1)[1 +).(1 +
1 + ^— 3〃 + 1
3〃一2
27〃3+54/+36" + 8 .
5 > 1
27n3 + 54# + 27" + 4
所以 f(n + l)>f(n)
即f(〃)在n u N*上是递增的
从而/(n)>/(l) = ^>l
即(1 + 1)"1 + 9 ..."+ 3 1 2)〉V3h + 1 (« e N*)
所以当。>1 时，S">：logM"+|
当 0<a<l 时，Sn < |logfl bn+i
一、求值
- ,、， (x-1)3 +1997(x-l) = -l ,
例1设x, y为实数，且满足' \ ，则x + y= 。
(y-1)3 +1997(y-l) = l
解：由已知条件，可得：
(x-l)3 +1997(x-l