余弦定理教学设计(共4页).doc

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　余弦定理
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　余弦定理
南京师范大学附属中学 张跃红
教学目标：
1. 掌握余弦定理，并能解决一些简单的三角形度量问题；
2. 能够运用余弦定理解决一些与测量和几何计算有关的实际问题．
教学重点：
重点是余弦定理及其证明过程．
教学难点：
难点是余弦定理的推导和证明．
教学过程：
图1
A
B
创设情景，提出问题．
问题1：修建一条高速公路，要开凿隧道将一段山体打通．现要测量该山体底侧两点间的距离，即要测量该山体两底侧A，B两点间的距离（如图1）．请想办法解决这个问题．
设计意图：这是一个学生身边的实际应用问题，在其解决的过程中得到余弦定理，自然引出本课的学习内容．
构建模型，解决问题．
学生活动：提出的方法有，先航拍，然后根据比例尺算出距离；利用等高线量出距离等；也有学生提出在远处选一点C，然后量出AC，BC的长度，再测出∠ACB．△ABC是确定的，就可以计算出AB的长．接下来，请三位板演其解法．
法1：（构造直角三角形）
图2
如图2，过点A作垂线交BC于点D，则
｜AD｜＝｜AC｜sinC，｜CD｜＝｜AC｜cosC，
｜BD｜＝｜BC｜－｜CD｜＝｜BC｜－｜AC｜cosC，
所以，
．
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图3
法2：（向量方法）
如图3，因为，
图4
所以，
即 ．
法3：（建立直角坐标系）
建立如图4所示的直角坐标系，则A （｜AC｜cosC, ｜AC｜sinC），
B （｜BC｜, 0），
根据两点间的距离公式，可得
，
所以，．
活动评价：师生共同评价板演．
追踪成果，提出猜想．
师：回顾刚刚解决的问题，我们很容易得到结论：在△ABC中，a，b，c是角A，B，C的对边长，则有成立．类似的还有其他等式，
，．
正弦定理反映的是三角形中边长与角度之间的一种数量关系，因为与正弦有关，就称为正弦定理；而上面等式中都与余弦有关，就叫做余弦定理．
问题2：刚才问题的解题过程是否可以作为余弦定理的证明过程？
设计意图：作为定理要经过严格的证明，在解决问题中培养学生严谨的思维习惯．
学生活动：经过思考得出，若把解法一作为定理的证明过程，需要对角C进行分类讨论，即分角C为锐角、直角、钝角三种情况进行证明；第二种和第三种解法可以作为余弦定理的证明过程．
教师总结：证明余弦定理，就是证明一个等式．而在证明等式的过程中，我们可以将一般三角形的问题通过作高，转化为直角三角形的问题；还可以构造向量等式，然后利用向量的数量积将其数