函数的单调性证明.doc

1。 函数单调性的定义：一般地,设函数的定义域为 ，如果对于属于定义域 内某个区间上的任意两个自变量的值 , ，当时,都有(）,那么就说在这个区间上是增函数(减函数).
理解函数单调性时，应注意以下问题：
（1) 函数的单调区间是定义1。 函数单调性的定义：一般地,设函数的定义域为 ，如果对于属于定义域 内某个区间上的任意两个自变量的值 , ，当时,都有(）,那么就说在这个区间上是增函数(减函数).
理解函数单调性时，应注意以下问题：
（1) 函数的单调区间是定义域的子集，确定函数单调区间时，应首先确定其定义域，定义域中的 ， 相对于单调区间具有任意性,不能用特殊值替代。（精品文档请下载）
(2) 在区间D1 、D2上是增函数，但不一定在区间D1∪D2上是增函数；同样在区间D1 、D2上是减函数，但在区间D1∪：在区间上为减函数，在上也是减函数，但在上就不能说成是减函数.（精品文档请下载）
例1。 证明函数在区间(0,）上是减函数.
证法一：（定义法）任取、∈(0，)，且 ＜ ,
则，
,
∵ ， ∴,
又∵，∴ ，∴，
∴即，∴，
∴函数在区间（0，)上是减函数.
总结用定义法证明函数单调性的一般步骤是：
（1) 取值：对任意 ，,且;
（2) 作差变形：；
（3） 定号得出结论。
变式. 求函数的单调区间.
3。 判断函数在区间上的单调性.
证明函数在上是减函数.
　例１　已知函数对任意实数,均有．且当＞０时，＞０，试判断的单调性，并说明理由。
　　解析:设,且，则－＞０，故　＞０．
　　∴　－＝－
　　　　　　　＝＋－
　　　　　　　＝＞０．
∴＜．　故在（－，＋）上为增函数．
例３　已知函数对于任意正数，都有＝·，且≠0,
当＞1时, ＜1．试判断在（０，＋）上的单调性，并说明理由．
　　解析：　　设，（０，＋）,且＜．则
　＜１,
　　∴　＞,　故在（０，＋）上为减函数．