函数的单调性.ppt

函数的单调性86821
2
y
x
0
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观察函数y=x2－4x＋3的图象：
总结:该函数在区间
（－∞，2）上单减,
切线斜率小于0,即其
导数为负,在区间（2，+∞）上单增,切线斜函数的单调性86821
2
y
x
0
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观察函数y=x2－4x＋3的图象：
总结:该函数在区间
（－∞，2）上单减,
切线斜率小于0,即其
导数为负,在区间（2，+∞）上单增,切线斜率大于0,=2时其切线斜率为0,即导数为0.
函数在该点单调性发生改变.
结论:一般地,设函数y=f(x)在某个区间
内可导,则函数在该区间
如果f′(x)>0, 则f(x)为增函数;
如果f′(x)<0, 则f(x)为减函数.
注意:如果在某个区间内恒有f′(x)=0,
则f(x)为常数函数.
结论应用：由以上结论可知，函数的单调性与其导数有关，即我们可以利用导数法去探讨函数的单调性。现举例说明：
例3 求函数f(x)=2x3-6x2+7的单调区间.
解:函数的定义域为R,f′(x)=6x2-12x
令6x2-12x>0,解得x<0或x>2，
则f(x)的单增区间为（－∞，0）和
（2，＋∞）.
再令6x2-12x<0,解得0<x<2,
则f(x)的单减区间(0,2).
注:当x=0或2时, f′(x)=0,即函数在该点单
调性发生改变.
总结：根据导数确定函数的单调性一般需两步：
(x)的定义域.
.
′(x)>0,得函数单增区间;
解不等式f′(x)<0,得函数单减区间.
例4 求函数f(x)=xlnx的单调区间.
解：函数的定义域为x>0,
f’(x)=x’lnx+x(lnx)’=lnx+1.
当lnx+1>0时，解得x>1/(x)的
单增区间是(1/e,+∞).
当lnx+1<0时，解得0<x<1/(x)
的单减区间是（0，1/e).
例5 判定函数y=ex-x+1的单调区间.
解: f’(x) =ex-1
当ex-1>0时,解得 x>0.
则函数的单增区间为(0,+∞).
当ex-1<0时,解得x<0.
即函数的单减区间为(-∞,0).
例6 讨论函数y= 的单调性.
2x - x2
解:函数的定义域为(0,2).
y ′= ,
解不等式y ′>0得:0<x<1,则函数的
单增区间为(0,1).
解不等式y ′<0得:1<x<2,则函数的
单减区间为(1,2).
2x - x2
1 - x
归纳总结:
:
若函数y=f(x)在某个区间内可导,
如果f ′(x)>0, 则f(x)为增函数;
如果f′(x)<0, 则f(x)为减函数.
,用导数去研究函数的
单调性是中心,能灵活应用导数解
题是目的,另外应注意数形结合在
解题中应用.
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