数学建模实例-双层玻璃的功效(共4页).doc

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双层玻璃的功效
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双层玻璃的功效
北方城镇的有些建筑物的窗户是双层的，即窗户上装两层厚度为的玻璃夹着一层厚度为的空气，如下左图所示，据说这样做是为了保暖，即减少室内向室外的热量流失。
我们要建立一个模型来描述热量通过窗户的热传导（即流失）过程，并将双层玻璃窗与用同样多材料做成的单层玻璃窗（如下右图，玻璃厚度为）的热量传导进行对比，对双层玻璃窗能够减少多少热量损失给出定量分析结果。
模型假设
热量的传播过程只有传导，没有对流。即假定窗户的密封性能很好，两层玻璃之间的空气是不流动的；
室内温度和室外温度保持不变，热传导过程已处于稳定状态，即沿热传导方向，单位时间通过单位面积的热量是常数；
玻璃材料均匀，热传导系数是常数。
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符号说明
——室内温度
——室外温度
——单层玻璃厚度
——两层玻璃之间的空气厚度
——内层玻璃的外侧温度
——外层玻璃的内侧温度
——热传导系数
——热量损失
模型建立与求解
由物理学知道，在上述假设下，热传导过程遵从下面的物理规律：
厚度为的均匀介质，两侧温度差为，则单位时间由温度高的一侧向温度低的一侧通过单位面积的热量，与成正比，与成反比，即
（1）
其中为热传导系数。
1、双层玻璃的热量流失
记双层窗内窗玻璃的外侧温度为，外层玻璃的内侧温度为，玻璃的热传导系数为，空气的热传导系数为，由（1）式单位时间单位面积的热量传导（热量流失）为：
（2）
由及可得
再代入就将（2）中、消去，变形可得：
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（3）
2、单层玻璃的热量流失
对于厚度为的单层玻璃窗户，容易写出热量流失为：
（4）
单层玻璃窗和双层玻璃窗热量流失比较
比较（3）（4）有： （5）
显然，。
为了获得更具体的结果，我们需要的数据，从有关