余弦定理的证明方法大全(共十法).doc

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bc2bccosA.
图1
余弦定理的证明方法大全（共十法）
一、余弦定理
余弦定理：三角形任何一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与他们夹角的余弦
的积的两倍,即在ABC中,已知ABc,BCa,CAb,则
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bc2bccosA.
图1
余弦定理的证明方法大全（共十法）
一、余弦定理
余弦定理：三角形任何一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与他们夹角的余弦
的积的两倍,即在ABC中,已知ABc,BCa,CAb,则有
222
abc2bccosA,
b2
c2cbcosAb
即，a2b2c22bccosA.
说明：图2-1中只对B是锐角时符合，，图中的
c2a22cacosB,
c2a2b22abcosC.
、定理证明
为了叙述的方便与统一，我们证明以下问题即可
在ABC中，已知ABc,ACb,及角A,求证：a2
证法一：如图1,在ABC中，由CBABAC可得:
CBCB(ABAC)(ABAC)
22
ABAC2ABAC
22
bc2bccosA
即，a2b2c22bccosA.
证法二:本方法要注意对A进行讨论.
b2c2a2知结论成立.
(1)当A是直角时，由b2c22bccosAb2c22bccos90

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⑵当A是锐角时，如图2-1,过点C作CD
AB,交AB于点D,则

在RtACD中，ADbcosA,，BDABADcbcosA.
在RtBCD中,由勾股定理可得：
222
BCBDCD
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(cbcosA)(bsinA)

点D就与点B重合；若B是钝角,图中的点D就在AB的延长线上.
⑶当A是钝角时，如图2-2,过点C作CDAB,交BA延长线于点D,则
在RtACD中，ADbcos(A)bcosA,CDbsin(A)bsinA.
从而，BDABADcbcosA.
在RtBCD中,由勾股定理可得：
BC2
BD2CD2
(c
bcosA)2(bsinA)2
2
2cbcosAb
即,a2b2
c2
2bccosA.
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可知,均有a2b2c22bccosA成立.
证法三:过点A作AD
BC,交BC于点D,则
在RtABD中,
sin
在RtACD中,
sin
BD
,cosc
CD
,cos
AD
c
AD
b
由cosAcos(
cos
cos
sin
sin可得:
图3
cosA
AD
AD
b
BD
CDcb
AD2
bc
BDCD
2AD22BDCD
2bc
c2BD2b2CD22BD
2bc
CD
222bc(BDCD)
2bc
,222
bca
2bc
整理可得a2
22
bc2bccosA.
证法四：在
ABC中,由正弦定理可得一a—
sinAsinB
c
sinC
sin(AB)
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从而有bsinAasinB,
csinAasin(