余弦定理证明方法大全共十法.doc

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余弦定理的证明方法大全(共十法)
一、余弦定理
余弦定理:三角形任何一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与他们夹角的余弦的积的两倍,即在ABC中,已知ABc,BCa,CAb,则有
a2
b2
c2
2bccosA,
b2
c2
a2
2cacosB,
c2
a2
b2
2abcosC.
二、定理证明
为了表达的方便与一致,我们证明以下问题即可:
在ABC中,已知ABc,AC
b,及角A,求证:a2
b2
c2
2bccosA.
uuur
uuur
uuur
证法一:如图1,在ABC中,由CB
AB
AC可得:
uuuruuuruuuruuuruuuruuur
CBCB(ABAC)(ABAC)

C
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uuur2
uuur2
uuuruuur
AB
AC
2ABAC
b2
c2
2bccosA
B
A
即,a2
b2
c2
2bccosA.
图1
证法二:本方法要注意对A进行谈论.
(1)当A是直角时,由b2c22bccosAb2c22bccos90b2c2a2知结论建立.
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(2)当A是锐角时,如图2-1,过点C作CDAB,交AB于点
在RtACD中,ADbcosA,CDbsinA.
从而,BDABADcbcosA.
在RtBCD中,由勾股定理可得:

D,则
C
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BC
2
BD2
CD2
(c
bcosA)2
(bsinA)2
c2
2cbcosA
b2
A
D
B
图2-1
即,a2
b2
c2
2bccosA.
说明:图2-1
中只对
B是锐角时吻合,而

B是直角,图中的
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点D就与点B重合;若
B是角,中的点D就在AB的延上.
(3)当A是角,如2-2,点C作CD
AB,交BA延于点D,
在RtACD中,ADbcos(
A)
bcosA,CD
bsin(
A)
bsinA.
从而,BDAB
ADcbcosA.
在RtBCD中,由勾股定理可得:
BC2
BD2
CD2
C
(cbcosA)2
(bsinA)2
c2
2cbcosA
b2
D
A
B
即,a2
b2
c2
图2-2
2bccosA.
上(1),(2),(3)
可知,均有a2
b2
c2
2bccosA建立.
法三:点A作ADBC,交BC于点D,
在Rt
ABD中,sin
BD,cos
AD.
C
c
c
D
在Rt
ACD中,sin
CD
AD
b
,cos
b
.
β
由cosAcos(
)
cos
cos
sin
sin
可得:
α
AD2
A
图3
B
cosA
AD
ADBD
CD
BDCD
c
b
c
b
bc
2AD2
2BDCD
c2
BD2
b2
CD2
2BDCD
2bc
2bc
b2
c2
(BDCD)2
b2
c2
a2
2bc
2bc
整理可得a2
b2
c2
2bccosA.
法四:在ABC中,由正弦定理可得
a
b
c
c
.
sinA
sinB
sinC
sin(A
B)
从而有bsinAasinB,⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯①
csinAasin(AB)asinAcosBacosAsinB.⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯②
将①入②,整理可得acosBcbcosA.⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯③
将①,③平方相加可得a2(cbcosA)2(bsinA)2b2c22bccosA.
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即,a2
b2
c2
2bccosA.
证法五:建立平面直角坐标系(如图
4),则由题意可得

y
C
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点A(0,0),B(c,0),C(bcosA,bsinA),再由两点间距离公式
可得a2
(cbcosA)2
(bsinA)2
c2
2cbcosA
b2.
即,a2
b2
c2
2bccosA.
A(O)
图4
Bx
证法六:在
ABC中,由正弦定理可得a
2RsinA,b
2RsinB,c
2RsinC.
于是,
a2
4R2sin2
A
4R2sin2(B
C)
4R2(sin2Bcos2C
cos2Bsin2C2sinBsinCcosBcosC)
4R2(sin2B
sin2C
2sin2Bsin2C
2sinBsinCcosBcosC)
4R2(sin2B
sin2C
2sinBsinCcos(BC))
4R2(sin2B
sin2C
2sinBsinCcosA)
(2RsinB)2
(2RsinC)2
2(2RsinB)(2RsinB)cosA
b2
c2
2bccosA
即,结论建立.
证法七:在ABC中,由正弦定理可得a
2RsinA,b
2RsinB,c
2RsinC.
于是,
a2
b2
c2
2bccosA
4R2sin2
A
4R2sin2B4R2sin2C
8R2sinBsinCcosA
2sin2A
2sin2B2sin2C
4sinBsinCcosA
2sin2A
2
cos2B
cos2C
4sinBsinCcosA
2
2cos2
A
2
2cos(B
C)cos(B
C)4sinBsinCcosA
由于cos(B
C)
cos(
A)
cosA,因此
cos2
A
cos(B
C)cos(B
C)
2sinBsinCcosA
cosA
cos(B
C)
2sinBsinC
cosA
cosBcosC
sinBsinC
cos(BC).这,显然建立.
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即,结论建立.
证法八:如图5,以点C为圆心,以CAb为半径作eC,直线BC与eC交于点D,E,延长
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AB交eC于F,延长AC交eC于G.
则由作图过程知AF2bcosA,
故BF2bcosAc.
由订交弦定理可得:BABFBDBE,
即,c(2bcosAc)(ba)(ba),

F
E
2bcosA-c
B
b-a
a
c
G
b
C
b
A
b
D
图5
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整理可得:a2
b2
c2
2bccosA.
证法九:如图6,过C作CD∥AB,交ABC的外接圆于D,则ADBC
a,BDACb.
分别过C,D作AB的垂线,垂足分别为E,F,则AEBF
bcosA,故CDc
2bcosA.
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由托勒密定理可得ADBCABCDACBD,

CD
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即,aac(c
2bcosA)
bb.
b
a
a
整理可得:a2
b2
c2
2bccosA.
证法十:由图7-1
和图7-2
可得a2
(cbcosA)2
(bsinA)2,
AE
cFB
整理可得:a2
b2
c2
2bccosA.
图6
C
EbsinA
a
C
a
AbcosAD
B
bsinA
D
B
c-bcosA
c-bcosA
图7-1
图7-2
余弦定理的证明方法还有很多
,比方可以用物理方法证明、可以构造相似三角形证明、可
.
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