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2高斯定理强环路定理37795
高斯定理成立。

q
S
S
电力线
(2) q—点电荷，S—任意闭合曲面(包围q)
高斯定理成立。
 q
S
电力线
(3) q—点电荷， S—任意闭合曲面
dV=dxdydz
x
y
z
该体积元内的电荷为：
dq=dv= dxdydz
通过包围该体积元的面积S的电
通量为6个端面电通量的总和。
dV=dxdydz
x
y
z
设体积元左、右两端面处的场强在x 轴上的投影分别为EL和ER：
则两端面上的电通量为：
通过S的总电通量为：
由高斯定理：
比较上两式，得：
高斯定理的
微分形式
此定理深刻反映了静电场和源之间的定量关系
这里：
称作 的散度，记为div
a
b
+Q
q0
一、电场力的功
本节从静电力作功研究静电场的另一性质：保守性
一点电荷Q 在其周围产生电场，
另有一试验电荷q0 在场中运动：
§7、2 场强环路定理 电势
dr
q0从a点移到b点电场力做的功为：
q0从a点移到b点电场力做的功为：
在此点电荷Q形成的静电场中，静电场对移动电荷所做的功仅和移动电荷的始、末位置有关，与具体路径无关。
当q0绕任何闭合路径运动一周，电场力作功恒为零。即
作功与路径无关的力称为保守力
对任何静电场(无论是由点电荷、点电荷系、带电体等)，电场对移动电荷作功恒与路径无关，仅与移动电荷的初、末位置有关。这样电场力就是保守力(即做功与路径无关)。静电场是保守力场。
a
b
+Q
q0
dr
二、场强环路定理
场强环路定理
表述：静电场中场强沿任意闭合环路的线积分恒等于零，即
当q0绕任何闭合路径运动一周，电场力作功恒为零，即
静电场的基本方程
保守场 无旋场
微分形式
讨论
静电场的性质：
有源、无旋
高斯定理：
三、电势能
静电场是保守力场，可以引进一势能：即在此
静电场中的电荷具有静电势能（简称电势能）。
静电场力作功等于相应电势能的减量
规定电势能的零点：
1）无穷远处的电势能为零,W= 0；
当电荷分布在
有限区域时
2）场中某一点 b 的W b = 0 (如地球的地面)
试验电荷q0 在静电场中某点的电势能在数值上等于 q0 从该点移到无穷远处静电场力所做的功。
如图示点电荷在场中受力
四、电势
与试验电荷无关反映了
电场在a 、b两点的性质
电势零点的选择(参考点)
任意 视分析问题方便而定，参考点不同电势不同
理论计算有限带电体电势时选无限远为参考点
实际应用中或研究电路问题时取大地、仪器外壳
若选b点的势能为参考零点，则a点的电势由下式得到：
称 a、b两点电势差
讨论
电势是标量，有正负
单位 V (伏特)(J / C)
如果电场的电势分布已知，则试验电荷q0 在电场中
从a 到 b (经任意路径)，电场力作的功为：
任意两点a、b的电势差在
数值上等于单位正试验电
荷从a点经任意路径到b点
电场力做的功。
计算电场力做功
最常用的公式

球对称
标量 正负
五、电势的计算

点电荷系所产生的电场
空间某点的电势：
电荷连续分布的带电体:
点电荷系所产生的电场:
点电荷的电势分布
：
1) 已知电场强度 的分布，利用电势的定义：
可计算电势的分布
已知q i或 分布，利用点电荷的电势和电势叠加原理，可求得带电体在周围产生的电势:
电荷分立
电荷连续
例1 计算均匀带电球面的电势 如图所示
解：均匀带电球面电场的分布为
若场点在球内 即r < R，如图P点
若场点在球外 即r > R, 如图P点
球内等势体，球面是等势面，球外和点电荷的电荷分布相同。
与电量集中在球心的点电荷的电势分布相同
例2 计算电量为 的带电球面球心的电势
解：在球面上任取一电荷元
则电荷元在球心的电势为
由电势叠加原理
球面上电荷在球心的总电势
思考：
电量分布均匀？
 圆环、圆弧？
解：如图取坐标。
此电荷元在P点的电势为：
例3 长为 均匀带电细杆，电荷线密度为 。计算P点的电势。
x
o
P
a
x
dx
取一dx微元段，其上电荷元dq为

d
解：平行板电容器内部的场强为
两板间的电势差
方向一致
均匀场