复合函数的单调性.pdf

复合函数的单调性
1、复合函数的概念
如果 y 是 u 的函数，u 又是 x 的函数，即 y  f (u) ，u  g(x) ，那么 y 关于 x 的函数
y  f [g(x)] 叫做函数复合函数的单调性
1、复合函数的概念
如果 y 是 u 的函数，u 又是 x 的函数，即 y  f (u) ，u  g(x) ，那么 y 关于 x 的函数
y  f [g(x)] 叫做函数 y  f (u) 和 u  g(x) 的复合函数，其中 u 是中间变量，自变量为 x ，
函数值 y 。
例如：函数 y  x2  2x  3 有函数 y  u 和函数u  x2  2x  3 复合而成，其中u 是
中间变量
例1、 指出下列函数有那些函数复合而成
y  x2  3 y  x2 1
2、复合函数的单调性
对于函数 y  f (u) 和函数 u  g(x) ，若在区间 a,b上具有单调性，当 xa,b时，
u m,n，且 y  f (u) 在区间 m,n上具有单调性，则复合函数 y  f [g(x)] 在区间
a,b上单调性规律如下：

y  f (u) 增 减
u  g(x) 增 减 增 减
y  f [g(x)] 增 减 减 增
（1）证明：设 x , x 是区间 a,b上的任意两个值，且 x  x ，因为u  g(x) 在区间
1 2 1 2
a,b上是增函数，所以