人教版九上数学二次根式知识点总结.docx

第21章 二次根式
【整体感知】
“二次根式”是《课程标准》“数与代数”的重要内容。本章是在第13章“实数”学方运算与开平方运算的互逆关系求非负数的 平方根和算术平方根的方法的基础上，进一步研究哪些不是二次根式：也、也、'、R (x>0)、 X
Vo > 扼、-V2 > —-一、Jx + y (xNO, y NO).
分析：二次根式应满足两个条件：第一，有二次根号“J~”；第二，被开方数是正 数或0.
解：二次根式有：、/危、y[x (x>0)、Vo > - V2 > J-+ y (x》0, yNO)；不是二
次根式的有：抠、-> 扬、
x x+y
数学方法：理解二次根式的特征：(1)根指数必须是2； (2)被开方数必须为
非角数
方法技巧：弄清二次根式的概念是准确判断一个式子是否是二次根式的关键.
变式训练
下列各式中J2、应、骨1 J初2+20 jm,二次根式的个数是
( )
A. 4个 B. 3个 C. 2个 D. 1个
：3a, b2-l,都有可能是负数，-144是负数，不能作为二次根式的被开方数, 二次根式有 y/15^a2+b2 Vm2+20，共 3 个.
■识点■ 二次根式的被开方数中字母的取值范围
举例讲解
1、 若丁=在实数范围内有意义，则x的取值范围是什么？
2、 使式子* 有意义的x的取值范围是什么？
3-x
归纳总结
知识归纳：
答案：1、xNl ； 2、x>- x>-<x#3 o
2 2
对于二次根式舌(aNO),被开方数a必须是一个非负数，所以二次根式若有意义, 则被开方数必须是一个非负数。
说明：当aNO,石才有意义；a<0时，■无意义。如1 Jx-l中被开方数xTNO,
.•.xNl.
方法归纳：
在求式子中字母的取值范围时，要注意二次根式、分式有意义的条件，即二次根式中 被开方数为非负数，分式中分母不能为0。
例2 X是怎样的实数时，下列各式在实数范围内有意义？
73-2% (2) 2x (3)LJ_ (4) JTK + J7
x + 1 V 3x + 7
(6) a/2x2 +1
分析：二次根式有意义满足的条件，一是被开方数是非负数，二是若分母中含有字母, 还应该注意分母不为零。
3
解：(1)由题启、，得3-2x20,解得xW —,
2
3
.••当xW —时，V3-2x有意义
2
'1-2x20 ^.<1
由题意，得 < ,解得< 2 。
尤+1更0 1
・••当x < —且尤主一I时， 有意义。
2 x + l
7
由题意，得3x+7>0,解得x> ，
3
・••当x> 时，J 有意义。
3 V3x + 7
,, fl-x>0 . zi=t fx<l
由题息，得 < ,解得! ，.・.0WxWl,
[x>0 [x>0
.••当OWxWl时，VT^ + Vx有意义。
由题意，得-x^NO,解得x=0,
.•.当x=0时，J京有意义。
・..不论x取任何实数，均W2x2+l>0,
.•.当X取任意实数时，+1有意义。
数学方法：解决此类问题的关键是根据“二次根式的被开方数是非负数” “分式 中分母不为零”建立关干X的不等式或不等式绢束解。
方法技巧：弄清二次根式有意义的条件是解这类题的关键.
变式训练
1、下列四个式子中，X的取值范围为x32的是（
A. B. , C. Jx — 2 D. J2 — x
x-2 Jx-2
2、 使式子J7ZT + JIM有意义的x的取值范围是（ ）
A. xN-1 B. -1WxW2 C. xW2 D. -l<x<2
3、 要使式子心％有意义，a的取值范围是（ ）
a
A. aNO B. a>-2 且 aNO C. a>-2 或 a乂0 D. aN-2 且 a乂0
1、 C 解析： A、x-2N0,且x-2尹0,解得：x>2,故此选项错误；B、x-2>0, 解得：x>2,故错误；C、x-2N0,解得xN2,故正确；D、2-xNO,解得xW2,故错误; 故选C。
[x + l>0
2、 B解析：根据题意，得｛ ,解得，-1WxW2；
2-x>0
故选B.
3、 D 解析：根据题意，得Ja + 2'°,解得aN-2且aUO.
故选D.
知识点3 二次根式的基本性质
举例讲解
1、探究石的性质;
2、根据算术平方根的意义填空:
(面=； (MM； (RM；(面=
3、填空：
4^ =； a/ =； -； =
归纳总结
知识归纳:
1、
二次根式具有双重非负性，即<
a >0（被开方数具有非负性）
* > 0（算术平方根具有