第四节函数的极限重要极限无穷大与无穷小.ppt

第四节函数的极限重要极限无穷大与无穷小
左右极限存在但不相等,
例1
证
结论：
小结
注：分段函数分点处的极限， 要分 别求左极限和右极限.
证明函数极限不存在的方第四节函数的极限重要极限无穷大与无穷小
左右极限存在但不相等,
例1
证
结论：
小结
注：分段函数分点处的极限， 要分 别求左极限和右极限.
证明函数极限不存在的方法是:
(1)证明左极限与右极限至少有一个不存在；
(2)或证明左极限和右极限均存在, 但不相等。

自变量 表示 及 ，
对正数 ， 表示 及 .
定义2 如果对于任意给定的正数（不论它多么小）总存在着正数 ，使得对于适合不等式 的一切 ，所对应的函数值 都满足不等式
那么常数 就叫函数 当 时的极限，记作
另两种情形:
结论：
二、函数极限的性质

定理
若在某个过程下
,
)
(
x
f
有极限
,
则存在
过程的一个时刻
,
在此时刻以后
)
(
x
f
有界
.
定理
,

若
)
(
lim
x
f
存在
则极限唯一
.
定理(保号性)
推论

定理1
极限的四则运算法则
三、极限的运算法则
推论1
常数因子可以提到极限记号外面.
推论2
推论3
数,则
定理1给出了极限的四则运算法则，它可以推广到
或
以及（3）中的某些情形：
（1）当　　　　时，而　　　　时，
（2）当　　　　时，而　　　　时，
（3）当　　　　时，而　　　　时，
（4）当　　　　时，而　　　　时，
（5）当　　　　时，而　　　　时，
.
,
0
)
(
0
则商的法则不能应用．可用推广的
若
=
x
Q
公式求．
例1　求
解
当　　　时，分子、分母的极限都为零，此时
不能用极限的四则运算法则及推广公式。而可用约
去无穷小因子的方法将函数变形后求极限
例2
求极限
解
当　　　　时，分子分母都趋于无穷大，
用无穷大因子　去除分子分母，然后再求极限．
解：原式
例3 求
解: 原式
又例 : 求
极限存在准则
四、两个重要极限
(1)
注
此结论可推广到
注意：
解
例
2
求
x
x
x
3
sin
lim
0
®
解
x
x
x
3
sin
lim
0
®
解
例4
解
解
当
¥
®
n
时
,
因此
例6
,
有
例5 求
解
例7 求
解
于是
练习
解
(2)
利用数列公式
用变量代换可求出
此结论可推广到
注
注意：
例
1
解
例2
解
一般地
例3 求
解一
解二
例
4
求
解
例5
解
解
解
解
练习
解.
解.
4.
思考题
思考题解答
左极限存在,
右极限存在,
不存在.
思考题
求极限
思考题解答
无穷小量与无穷大量
一、无穷小量
在实际应用中，经常会遇到极限为0的变量。
对于这种变量不仅具有实际意义，而且更具有理论价值，值得我们单独给出定义
定义1:
在x的某一变化过程中,函数f(x)极限为零,称f(x)为该过程的无穷小量（简称无穷小）.
当
例如 :
函数
当
时为无穷小;
函数
时为无穷小;
注意
，必须指明自变量的
变化过程；
,不能与很小的数混淆;
.
无穷小
证
必要性
充分性
意义
将一般极限问题转化为特殊极限问题(无穷小);
无穷小的性质
（2）有界函数与无穷小的乘积是无穷小.
（1）有限个无穷小的和、差、积仍是无穷小.
（3）在同一过程中,有极限的变量与无穷小的乘积是无穷小.
（4）常数与无穷小的乘积是无穷小.
例1
解
二、无穷大量
记作
记作
注意
1.