第四节函数的极限重要极限无穷大与无穷小
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一、函数极限的定义
本节仿照数列极限讨论给出函数极限,先给出函数极限的一般概念:在自变量的某个变化过程中,如果对应的函数值无限接近某个确定常数个时刻
,
在此时刻以后
)
(
x
f
有界
.
定理
,
若
)
(
lim
x
f
存在
则极限唯一
.
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定理(保号性)
推论
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定理1
极限的四则运算法则
三、极限的运算法则
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推论1
常数因子可以提到极限记号外面.
推论2
推论3
数,则
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定理1给出了极限的四则运算法则,它可以推广到
或
以及(3)中的某些情形:
(1)当 时,而 时,
(2)当 时,而 时,
(3)当 时,而 时,
(4)当 时,而 时,
(5)当 时,而 时,
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.
,
0
)
(
0
则商的法则不能应用.可用推广的
若
=
x
Q
公式求.
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例1 求
解
当 时,分子、分母的极限都为零,此时
不能用极限的四则运算法则及推广公式。而可用约
去无穷小因子的方法将函数变形后求极限
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例2
求极限
解
当 时,分子分母都趋于无穷大,
用无穷大因子 去除分子分母,然后再求极限.
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解:原式
例3 求
解: 原式
又例 : 求
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极限存在准则
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四、两个重要极限
(1)
注
此结论可推广到
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注意:
解
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例
2
求
x
x
x
3
sin
lim
0
®
解
x
x
x
3
sin
lim
0
®
解
例4
解
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解
当
¥
®
n
时
,
因此
例6
,
有
例5 求
解
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例7 求
解
于是
练习
解
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(2)
利用数列公式
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用变量代换可求出
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此结论可推广到
注
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注意:
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例
1
解
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例2
解
一般地
例3 求
解一
解二
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例
4
求
解
例5
解
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解
解
解
练习
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解.
解.
4.
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思考题
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思考题解答
左极限存在,
右极限存在,
不存在.
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思考题
求极限
思考题解答
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无穷小量与无穷大量
一、无穷小量
在实际应用中,经常会遇到极限为0的变量。
对于这种变量不仅具有实际意义,而且更具有理论价值,值得我们单独给出定义
定义1:
在x的某一变化过程中,函数f(x)极限为零,称f(x)为该过程的无穷小量(简称无穷小).
当
例如 :
函数
当
时为无穷小;
函数
时为无穷小;
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注意
,必须指明自变量的
变化过程;
,不能与很小的数混淆;
.
无穷小
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证
必要性
充分性
意义
将一般极限问题转化为特殊极限问题(无穷小);
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