数学思想史作业.ppt

一百馒头一百僧,大和三个更无争答曰: 大和尚二十五人,分得馒头七十五个;小和尚七十五人,分得馒头二十五个小和三人分一个,大和小和得几丁这是我国家喻户晓的一道名题,通常作为小学训练思维的心算题。译文:今有大小和尚共 100 人,分食 100 个馒头。已知大和尚一人分三个, 小和尚 3人分一个问大小和尚各有多少人?他们分别分到多少个馒头? 解法 1 :( 中古算法) 大和尚 1人分馒头 3个小和尚 3人分馒头 1个分馒头 3个合计和尚 4人馒头 4个从给定的条件看来, 4个和尚分 4个馒头,它们的结构比例是:大和尚﹕小和尚=1 ﹕3,并且,大和尚分的馒头数﹕小和尚分的馒头数=3 ﹕1, 现在已知 100 个和尚分 100 个馒头,按此比例,很容易求得大和尚 100 ÷( 3+1 ) =25 (人) 小和尚 100 ÷4× 3=75 (人) 大和尚分得馒头 25 × 3=75 (个) 小和尚分得馒头 75 ÷ 3=25 (个) 解法 2列方程解应用题设大和尚有 x人,小和尚有 y人,则消去 y求得 X=25{ y=75{ x+y=100 100 3 13??yx{ 3X=75 25 3 1?y例 ,欲为粝米,问得几何? 选自《九章算术》术曰:以粟求粝米,三之,五而一。答曰:为粝米六升。本题的意思是根据粟米之法所列的比率,问一斗谷子能换多少糙米? 解:由粟米之法知谷子︰糙米=50 ︰ 30 设所求数为 x,则 50 ︰ 30=1 ︰ x 即 5 ︰ 3=1 ︰x 古人把这种计算方法叫做“今有术”,四项比例中的各项均有专门名词,即所有率︰所求率= 所有数︰所求数(粟率 50 )(糙米 30 )(今有粟 1斗) (所求数 x) 根据比例的性质:两内项之积等于两外项之积,有所有率×所求数=所求率×所有数所以所求数=(所有数×所求率) /所有率(升) 斗) 6(5 35 31????x术文曰: “以所有数乘所求率为实,以所有率为法,实如法而一。”上式就是这个关系的解析表达式“今有术”实际上就是初中所学的正比例关系 y=kx ,通过给定所有率和所求率的数据,确定比例系数 k,,欲为凿米,问能换得精米多少升? 解:由粟米之法知道, “粟率五十,凿米二十四”,设所求数 x,则由所有率︰所求率=所有数︰所求数 50︰24=45 ︰x所以“今有术”虽然简单,但刘徽却十分看重这个方法,认为它是一种解题的通法,许多问题可以以此为基础,转化为比例问题用“今有术”求解。 5 321 50 24 45???x(升) ,买竹二千三百五十个, 问个几何? 选自《九章算术》解:今有 13500 钱,买竹 2350 根,问每根竹子多少钱? 这是一个简单的用除法求物品单价的问题,刘徽也把它归结为今有术之类,认为: “按今有之义,一枚为所有数,出钱为所求率, 而今有之,即得所求数。”这样,求单价的问题,也表示成四项比例的问题,即 2350 ︰13500=1 ︰x 所以这也体现了刘徽的化归思想和当今的“以法统题,多题一法”的思想是一致的。(钱) 47 35 52350 13500 1???x ,犬追之二百五十步,不及三十不止,问犬不止,复行几何步及之? 选自《九章算术》解:依题意作如下示意图犬兔犬兔 30 250 步 100 步答案兔子先行 100 步,狗起跑追及,狗行 250 步时,狗兔还相距 30步, 就是说狗行 250 步可以追及兔子先行的 70步。由于狗、兔都是匀速运动,即在相同的时间里狗、兔行走的距离之比是不变的。设狗再行 x步就可以追上兔子,显然有所以 70 250 30 x?7 1107 7 25 30???x即狗再行步 7 1107 就可以追上兔子。