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利用分式方程“解的情况”,求字母的值或取值范围
解分式方程时,时常会遇到分式方程中“有增根”、“无解”、“解为正数”、“解为
负数”的情况,现逐一作出探讨.
分式方程有增根
2x 1 得:
ax  4  x  2
∴ a 1x  2
分为两种情况:
（1）当 a 1  0 ,即 a  1 时,方程 a 1x  2 无解,此时分式方程也无解;
（2 ） 当 a 1  0 ,即 a  1 时 ,令 x  2  0 , x  2 , 分式 方 程无 解. 把 x  2 代入
a 1x  2 得: a  2 .
综上所述, a  1 或 a  2 .
总结 注意分式方程有增根和分式方程无解是不一样的 :分式方程有增根只是分式方程无
解的一种情况 ,分式方程无解包括有增根时无解和转化为整式方程时整式方程无解导致分
式方程无解两种情况.
7 mx
习题 3. 若关于 x 的分式方程  3  无解,求 m 的值.
x 1 x 1
m 3
习题 4. 若关于 x 的分式方程   1无解,则 m 的值是_________.
x 1 1 x
2 x  m
习题 5. 若关于 x 的方程   2 有增根,则 m 的值是_________.
x  2 2  x
x m
习题 6. 若分式方程   2 有增根,则这个增根是_________.
x 1 1 x
第 2 页分式方程的解为负数
x  k k
例 3. 已知关于 x 的分式方程   1 的解为负数 ,则 k 的取值范围是
x 1 x 1
____________.
分析:本题为易错题,易忽视分式方程有解（如负数解）时,其最简公分母不能等
于 0,导致求得的 k 的取值范围不完整.
x  k k
解:   1
x 1 x 1
方程两边同时乘以 x 1x 1得:
x  kx 1 kx 1  x 1x 1
解之得:
x  1 2k
∵该分式方程的解为负数
∴1 2k  0
1