高等数学教案设计-无穷级数.docx

第十一章无穷级数
教学目的：
理解常数项级数收敛、发散以及收敛级数的和的概念，掌握级数的基本性质及收敛的 必要条件。
掌握几何级数与P级数的收敛与发散的条件。
掌握正项级数收敛性的比较判别法和比值判别法，会用根值判别法。
掌握交错-4 〃(〃+1)
=(1-!)+(!-?)+ ,•* +(—— )=1—77
2 2 3 n 〃+1 〃+1
从而
lim sn = lim(l—— )=1, n—>co >oo n+1
所以这级数收敛，它的和是1.
00 [
例3判别无穷级数的收敛性.
解因为
S ——-—I —I—1—. -I 1
〃 1-2 2-3 3-4 〃(〃+1)
=(1-|)+4-|)+ …+G-4r)=l-%，
2 2 3 n n+1 n+1
从而
lim sn = lim(l)=1, >oo n+\
所以这级数收敛，它的和是1.
二、收敛级数的基本性质
00 00
性质1如果级数收敛于和s,则它的各项同乘以一个常数k所得的级数Em也收敛, n=l n=l
且其和为ks.
00 00
性质1如果级数收敛于和s,则级数£如〃也收敛，且其和为ks.
n=l n=l
00
性质1如果
n=l
00
则 £kiin=ks.
n=l
00 00
这是因为，设与£如/〃,则 n=l n=l
lim(yn = lim(初i+初2H—初〃)=k lim("] +u2-\—以〃)=《limsn=ks.
>oo zz—>00 n—>oo n—>oo
00
这表明级数£如〃收敛，且和为人.
n=l
00 00 00
性质2如果级数£"“、分别收敛于和s、C7,则级数£("〃 土V”)也收敛，且其和为S±b.
n=l n=l n=l
00
性质2如果Ziiq、
n=l
00 00
£v〃=b,则 £("〃±v〃)=s±b.
n=l n=l
00 00
这是因为，如果£v〃、
n=l n=l
00
的部分和分别为S〃、bn、如则 n=l
lim Tn = lim [(灼 + vl)+(u2 ±v2)+• • •+(w„±v„)] ns ns
=lim[("]+"2 — + "〃) ± ("i + "2 — + vn)]
"Too ~ ~
=lim(s〃 ±b〃)=s±b.
w—>00
性质3在级数中去掉、加上或改变有限项，不会改变级数的收敛性.
比如,级数+ + 1■-/ ' 1、T— 是收敛的，
1-2 2-3 3-4 〃 (〃+1)
级数10000+二+上+±+ — +"1下+…也是收敛的，
1-2 2-3 3-4 〃 (〃+1)
级数&+土+…+湍R•.也是收敛的・
性质4如果级数收敛，则对这级数的项任意加括号后所成的级数仍收敛，且其和不变. n=l
应注意的问题：如果加括号后所成的级数收敛，则不能断定去括号后原来的级数也收敛.
例如，级数
1-1)+1-1) +…收敛于零，但级数1-1+1-1+ 却是发散的.
推论：如果加括号后所成的级数发散，则原来级数也发散.
级数收敛的必要条件：
00
性质5如果收敛，则它的一般项“,，趋于零，即lim殊=0.
n=l "项
00
性质5如果收敛，则limw„=0.
n=l
00
证 设级数2说n的部分和为Sn,且lim sn=s，则 n=l 〃T°°
lim〃〃 = lim（s〃一乌 _i）= lim s〃一 lim =s-s=O.
w—>0 n—>oo n—>oo w—>oo
应注意的问题：级数的一般项趋于零并不是级数收敛的充分条件.
例4证明调和级数
文」=1+!+、...+■+...是发散的. n=\n 2 3 n
例4证明调和级数£上是发散的.
00 [
证假若级数收敛且其和为S,s“是它的部分和.
显然有 lim sn =s 及 lim s2n =s .于是 1血（力“ 一$〃） = 0.
"TOO n—>CO H—>00
但另一方面,
s2n-sn =-^—+^—+ ■■- +—>—+—+ ■■- +—=1,
2,7 n n+1 n+2 In In In In 2
故lim（，〃-s〃）/0,£上必定发散.
〃一＞8 . n
§11. 2常数项级数的审敛法
一、正项级数及其审敛法
正项级数：各项都是正数或零的级数称为正项级数.
00
定理1正项级数收敛的充分必要条件它的部分和数列｛s“｝有界.
n=l
00 00 00
定理2(比较审敛法)设〃和都是正项级数，且un<vn ("=1, 2, • • •).若级数收敛, n=l n=\