四点共圆的性质与判定.docx

四点共圆的性质、判定及应用（一）
柳州市龙城中学 谭兵
一、四点共圆的概念：
如果同一平面内的四个点在同一个圆上，则称这四个点共圆，一般简称为“四点共圆”。
二、四点共圆的性质：
（1）共圆的四个点所连成同侧共底的两个三角形的顶角足为E，弦BM与CD交于点F .
(1)证明：A、E、F、M 四点共圆；(2)证明：AC 2 + BF • BM = AB 2.
例7、如图，在平行四边形ABCD中，/BAD为钝角，且AE ± BC , AF ± CD .
(1)求证：A、E、C、F四点共圆；
(2)设线段BD与(1)中的圆交于M、N .求证：BM = ND.
例10、如图，在AABC中，AD , BE分别是ZA , /B的角平分线，O是AD与BE的交点，若C , D , O, E四点共圆，DE = 3,则A ODE的内切圆半径为多少？
例11、如图，点F是AABC外接圆弧BC的中点，点D、E在边AC上 证明：B、E、D、F四点共圆.
使得AD = AB
BE = EC。
（1）求证：E、
H、
BH = BM .
例 12、如图，AH = AC , EB = BC , AE = AK
M、K四点共圆;
(2)若KE = EH , CE = 3求线段KM的长.
例13、在AABC的边AB , BC , CA上分别取D , E , F .使得DE = BE , FE = CE，又点O是AADF
的外心.（1）证明：D , E , F , O四点共圆；（2）证明：O在/DEF的平分线上.
例14、如图，CD为AABC外接圆的切线，AB的延长线交直线CD于点D , E、F分别为弦AB与 弦AC上的点，且BC AE = DC AF , B、E、F、C四点共圆.
（1）证明：CA是AABC外接圆的直径；
（2）若DB = BE = EA，求过B、E、F、C的圆的面积与AABC外接圆面积的比值.
例15、如图，锐角AABC的内心为D ,
过点A作直线BD的垂线，垂足为F，点E为内切圆D与边
AC的切点.（1）求证：A , D , F ,
E四点共圆；（2）若/C = 50。，求/DEF的度数.
例16、如图，在正AABC中，点D , E分别在边BC、AC上，且BD = 1BC , CE =1 CA, AD , 3 3
BE相交于点P，求证：（1） P , D , C , E四点共圆；（2） AP ± CP .
A
【强化训练】
1、如图，AB是。O的直径，弦BD , CA的延长线相交于点E , EF垂直BA的延长线于点F .
求证：（1） BE DE + ACCE = CE2 ；（2） E , F , C , B 四点共圆.
2、如图，已知AP是。O的切线，P为切点，AC是。O的割线，
/PAC的内部，点M是BC的中点.（1）证明A , P , O , M四点共圆；（2）求/OAM + AAPM的 大小．
3、如图，已知AB为半圆O的直径，BE、CD分别为半圆的切线，切点分别为B、C , DC的延长 线交BE于F , AC的延长线交BE于E . AD ± DC, D为垂足.（1）求证：A、D、F、B四点 共圆；（2）求证：EF = FB .
4、如图，已知AABC中的两条角平分线AD和CE相交于H , /B二 且AE = AF . (1)证明：B , D , H , E四点共圆；(2)证明：
二 60。, F 在 AC 上， CE 平分 /DEF .
A ,Jk
DC
5、如图，已知BA是。O的直径，
CE .求证：BE • BF = BC BD .
AD是。O的切线，割线BD、BF分别交。O于C、E ,连接AE、
6、如图，。O与。P相交于A、
B两点，圆心P在。O上，。O的弦BC切。P于点B , CP及其
延长线交。P于D , E两点，过点E作EF ± CE，交CB的延长线于点F . (1)求证：B、P、E、
F四点共圆；(2)若CD = 2 , CB = 2弋2，求出由四点B、
E、F所确定圆的直径.
7、如图所示，已知PA切圆O于A，割线PBC交圆O于B、C，PD ± AB于D，PD与AO的延长 线相交于点E，连接CE并延长交圆O于点F，连接AF .
2 .
(1)求证：B , C , E, D四点共圆；(2)当AB = 12 , tan/EAF =—时，求圆