四点共圆的性质与判定.doc

四点共圆的性质、断定及应用（一）
柳州市龙城中学 谭兵
一、四点共圆的概念：
假设同一平面内的四个点在同一个圆上，那么称这四个点共圆，一般简称为“四点共圆”.
D
A
B
C
二、四点共圆的性质：
D
（1）共圆的四个点所连成同侧共底的两个三角形的顶角相等;
（2）圆内接四边形的对角互补；
(3）圆内接四边形的一个外角等于它的内对角。
三、四点共圆的断定方法：
断定方法1：四点到某一定点的间隔 都相等 四点共圆．
断定方法2：从被证的四点中先选出三点作一圆，假设另一点也在这个圆上 四点共圆．
断定方法3:假设凸四边形的对角互补 四个顶点共圆
断定方法4：假设凸四边形的一个外角等于其邻补角的内对角 四个顶点共圆
E
D
A
B
C
D
A
B
C
A
B
C
D
D
C
B
A
D
A
B
C
E
D
C
B
A
断定方法5：共斜边的两个直角三角形 四个顶点共圆，且斜边为直径
断定方法6：共底边的两个三角形顶角相等，且在底边的同侧 四个顶点共圆．
断定方法7：（相交弦定理的逆定理）凸四边形ABCD的对角线AC、BD交于P，
假设PD×BP=PC×AP 四个顶点共圆．
A
B
C
D
断定方法8：（割线定理的逆定理）假设凸四边形ABCD其边的延长线AB、CD交于P,
PD×PC=PB×PA 四个顶点共圆
二、托勒密定理：圆内接四边形中，两条对角线的乘积等于两组对边乘积之和． 
假设四边形ABCD内接于圆 BD×AC = BC×AD + CD×AB．
托勒密定理的逆定理:假设凸四边形两组对边的积的和，等于两对角线的积
此四边形必内接于圆.
假设BD×AC = BC×AD + CD×AB 四边形ABCD内接于圆．
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3．：如以下图，四边形ABCD内接于圆，CE∥BD交AB的延长线于E．
A
B
C
D
E
求证：AD · BE＝BC · DC．
6．如图，在△ABC中，AB＝AC，BD平分∠B，△ABD的外接圆和BC交于E．求证：AD＝EC．
性质
1．如图，在△ABC中，AD⊥BC，DE⊥AB，DF⊥AC．
求证:B、E、F、C四点共圆．
断定
*5．正方形ABCD的中心为O，面积为1989 cm2．P为正方形内一点，且∠OPB＝45°，PA∶PB＝5∶14．求PB（精品文档请下载）
断定
．
A
B
C
D
7．：梯形 ABCD中,AD＝BC，AB∥CD．求证：BD2＝BC2＋AB · CD．
托勒密定理
9．在△ABC中,∠A的内角平分线AD交外接圆于D．连结BD，CD．求证：AD · BC＝BD · (AB + AC）．（精品文档请下载）
A
B
C
D
托勒密
＊8．如图，以Rt△ABC的斜边BC为一边在△ABC的同侧作正方形BCEF,设正方形的中心为O，连结AO，假设AB＝4，AO＝，求AC的长.（精品文档请下载）
＊*10．如图，AD、BC为过圆的直径AB两端点的弦，且BD和AC相交于E。
求证:AC · AE + BD · BE＝AB2
11．如图，△ABC内接于圆，P为上一点，PD⊥AB于D，PE⊥BC于E，PF⊥AC于F。
求证：D、E、F三点共线.
12．：△AOB中，AB＝OB＝2，△COD中，CD＝OC＝3,∠ABO＝∠DCO．连接AD、BC，点M、N、P分别为OA、OD、BC的中点．（精品文档请下载）
(1）如图1,假设A、O、C三点在同一直线上，且∠ABO＝60°，那么△PMN的形状是______，此时=______；（精品文档请下载）
(2)如图2,假设A、O、C三点在同一直线上,且∠ABO＝2α,证明△PMN∽△BAO，并计算的值（用含α的式子表示）；（精品文档请下载）
(3)在图2中,固定△AOB,将△COD绕点O旋转,直接写出PM的最大值．
例1、锐角的三条高、、交于，在、、、、、、七个点中．能组成四点共圆的组数是(　　）