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高中数学16个二级结论
结论一奇函数的最值性质
已知函数f(x)是定义在集合 D上的奇函数，则对任意的xCD,都有f(x)+f(-x)=0. 特另IJ地，若奇函数f(x)在D上有最
值，则 f(x) max+f(x) min=0,且若 x,x C ：曲线y=f(x)与曲线y= —x2+x+1有唯一公共点.
2
结论六三点共线的充要条件
设平面上三点
uuu unn
OP OA
O,A,B不共线，则平面上任意一点 P与A,B共线的充要条件是存在实数 入与科，使得
uuu uuu 1 uuu 1 ULU
OB,且 ，当P为线段AB的中点时，OP -OA -OB.
2 2
例6 已知A,B,C是直线l上不同的三个点
9 uuu uuu uuu
点O不在直线l上，则使等式x2OA xOB BC
r
0成立的实数x的取
值集合为( )A.{-1}
B. C.{0} D.{0,-1}
uur uuuu uuir
,已知AB// CD,AB=2CD,MN分别为CD AM AN ,则
结论七 三角形“四心”的向量形式
设O为△ ABC所在平面上一点
,角A,B,C所对的边长分别为 a,b,c,则
a
2sin A
uur uuu uur
⑴O 为△ ABC的外心？ |OA| |OB| |OC |
r 0.
uuu uuu uuir
(2)O 为△ ABC的重心？ OA OB OC
uuu uuu uuu uur uuur uuu
⑶O 为△ ABC的垂心？ OA OB OB OC OC OA.
uuu uur uuur r
(4)O 为^ABC的内心？ aOA bOB cOC 0.
例7已知A,B,C是平面上不共线的三点
ULU
1
，动点P满足OP -[(1
3
uuu
)OA (1
uuu
uuur
)OB (1 2 )OC],
R,则点P
的轨迹一定经过( ) A.^ABC的内心
B/ABC的垂心
C/ABC的重心
边的中点
跟踪集训7.(1)P是4ABC所在平面内一点
uuu uur ，若 PA PB
ULU1
PB
uuir uur uuu
PC PC PA,则 P是△ABC的(

(2)0是平面上一定点，A、B、
C是平面上不共线的三个点
uuu
，动点P满足OP
uuu uuur
OB OC
2
uuu
AP,
(0,
)，则P点
的轨迹一定通过^ ABC的(
)
(3)0是平面上一定点,A,B,C
uuui
是平面上不共线的三个点，动点P满足OP
uuu uuu / AB OA (-uuu-
|AB|
uuur
AC
uuur
|AC|
)，
[0,
的轨迹一定通过^ ABC的(
)
结论八等差数列
.若S、2m,S3m分别为等差数列｛a n｝的前m项，前2m项，前3m项的和，则S^m-SmSsm-S2m成等差数列.
.若等差数列｛an｝的项数为
2m,公差为d,所有奇数项之和为 S奇,所有偶数项之和为 S偶，则所有项之和
%
S2m=m(am+am+1),S 偶-S 奇=md,
S偶
生
am 1
.若等差数列｛an｝的项数为
2m-1,所有奇数项之和为 S奇，所有偶数项之和为 S偶，则所有项之和S2m-1=(2m-1)a m,S
奇=man)S 偶=(m-1)a 码S 奇-S 偶=am,
例8 (1)设等差数列｛an｝的前n项和为Sn,若Sm-1=-2,S m=0,Sm+1=3,则m=( )
(2)等差数列｛an｝的前n项和为Sn,已知am-1+am+1- a；=0,S2m-1=38，则m等于
跟踪集训8.(1)等差数列｛an｝的前n项和为S,若So=2O,S2o=5O，则&。=
2) 一个等差数列的前 12项和为354,前12项中偶数项的和与奇数项的和的比为 32 : 27,则数列的公差 d=_.
结论九等比数列
已知等比数列｛a n｝,其公比为q,前n项和为 已
(1)数列｛工｝也为等比数列，其公比为 二.
an q
(2)若q=1,则S=nai,且｛an｝同时为等差数列
ai
i q
或q=-1且n为奇数),其公比为qn.
(3)若 qwl,则 G= ai(1 q)a一包q
(4)S n,S2n-Sn,S3n-S2n,…仍为等比数列(q W -1
(5)S n, Sn, 红，…仍为等比数列，公比为