图论课件--最小生成树.pptx

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第一页,共35页。
本次课主要内容
最小生成树
(一)、克鲁斯克尔算法
(二)、管梅谷的破圈法
(三)、Prim算法
(四)、计算机中的树简介
第二页,共35页。
最小连接问题:
交通网络中,常常关注能把所有站点连接起来的生成树,使得该生成树各边权值之和为最小。例如:
假设要在某地建造5个工厂,拟修筑道路连接这5处。经勘探,其道路可按下图的无向边铺设。现在每条边的长度已经测出并标记在图的对应边上,如果我们要求铺设的道路总长度最短,这样既能节省费用,又能缩短工期,如何铺设?
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不难发现:最小代价的连接方式为:
最小连接问题的一般提法为:
在连通边赋权图G中求一棵总权值最小的生成树。该生成树称为最小生成树或最小代价树。
(一)、克鲁斯克尔算法
第四页,共35页。
克鲁斯克尔(Kruskal):1928年生,一家3弟兄都是数学家,1954年在普林斯顿大学获博士学位,导师是ErdÖs,他大部分研究工作是数学和语言学,主要在贝尔实验室工作。1956年发表包含克鲁斯克尔算法论文,使他名声大振。
1、算法思想
从G中的最小边开始,进行避圈式扩张。
2、算法
(1)、选择边e1,使得其权值最小;
(2)、若已经选定边e1,e2,…,ek,则从E-{e1,e2,…,ek}中选择边ek+1,使得:
(a)、G[e1,e2,…,ek+1]为无圈图
(b)、ek+1的权值w(ek+1)尽可能小。
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(3)、当(2)不能进行时,停止。
例1用克鲁斯克尔算法求下图的最小生成树。
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解:过程如下:
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2、算法证明
定理1由克鲁斯克尔算法得到的任何生成树一定是最小生成树。
证明:设G是一个n阶连通赋权图,用T*=G[{e1,e2,…,en-1}]表示由克鲁斯克尔算法得到的一棵生成树,我们证明:它是最小生成树。
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设T是G的一棵最小生成树。若T*≠T
由克鲁斯克尔算法容易知道:T∩T*≠Φ。
于是令f(T)=k表示T*中的边ei不在T中的最小i值。即可令T=G[{e1,e2,…,ek-1,e'k,…,e'n}]
考虑:T∪ek,则由树的性质,它必然为G中圈。
作T1=T∪ek-e,容易知道:T1还为G的一棵生成树。
设e是圈T∪ek中在T中,但不在T*中的边。
由克鲁斯克尔算法知道:
所以:
这说明T1是最小树,但这与f(T)的选取假设矛盾!所以:T=T*.
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例2在一个边赋权G中,下面算法是否可以产生有最小权值的生成路?为什么?
算法:(1)选一条边e1,使得w(e1)尽可能小;
(2)若边e1,e2,…,ei已经选定,则用下述方法从E\{e1,..,ei}中选取边ei+1:
(a)G[{e1,e2,…,ei,ei+1}]为不相交路之并;
(b)w(ei+1)是满足(a)的尽可能小的权。
(3)当(2)不能继续执行时停止。
解:该方法不能得到一条最小生成路。
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