圆切线证明.doc

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圆切线证明
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一、考点分析:
圆中的重要定理:
圆的定义:主假如用来证明四点共圆.
垂径定理:主假如用来证明——弧相等、线段相等、垂直关系等等.
三者之间的关系定理:主假如用来证明——弧相等、线段相等、圆心角相等.
圆周角性质定理及其推轮:主假如用来证明——直角、角相等、弧相等.
切线的性质定理:主假如用来证明——垂直关系.
切线的判判定理:主假如用来证明直线是圆的切线.
切线长定理:线段相等、垂直关系、角相等.
圆中几个重点元素之间的互相转变:弧、弦、圆心角、圆周角等都能够经过相等来
.
二、考题形式分析:
主要以解答题的形式出现,第1问主假如判断切线;第2问主假如与圆有关的计算:①
求线段长(或面积);②求线段比;③求角度的三角函数值(实质还是求线段比)。
三、解题方法
1、判断切线的方法:
(1)若切点明确,则“连半径,证垂直”。
常有手法有:全等转变;平行转变;直径转变;中线转变等;有时可经过计算联合相像、
勾股定理证垂直;
(2)若切点不明确,则“作垂直,证半径”。
常有手法:角均分线定理;等腰三角形三线合一,隐蔽角均分线;
总而言之,要达成两个层次的证明:①直线所垂直的是圆的半径(过圆上一点);②直线与
半径的关系是互相垂直。在证明中的重点是要办理好弧、弦、角之间的互相转变,要擅进步
行由此及彼的联想、要总结常增加的协助线
2、与圆有关的计算:
计算圆中的线段长或线段比,平常与勾股定理、垂径定理与三角形的全等、相像等知识
的联合,形式复杂,无规律性。分析时要重点注意观察已知线段间的关系,选择定理进行线段或许角度的转变。特别是要借助圆的有关定理进行弧、弦、角之间的互相转变,找出所求线段与已知线段的关系,从而化未知为已知,解决问题。其中重要而常有的数学思想方法有:
1)结构思想:如:①建立矩形转变线段;②建立“射影定理”基本图研究线段(已知随意两条线段可求其他所有线段长);③结构垂径定理模型:弦长一半、弦心距、半径;④
.
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结构勾股定理模型;⑤结构三角函数.
2)方程思想:设出未知数表示重点线段,经过线段之间的关系,特别是发现其中的相等关系建立方程,解决问题。
(3)建模思想:借助基本图形的结论发现问题中的线段关系,把问题分解为若干基本图
形的问题,经过基本图形的解题模型迅速发现图形中的基本结论,从而找出隐蔽的线段之间
的数量关系。
(1)如图,AB是⊙O的直径,BC⊥AB,AD∥OC交⊙O于D点,求证:CD为⊙O的切线;
2)如图,以Rt△ABC的直角边AB为直径作⊙O,交斜边AC于D,点E为BC的中点,连接DE,求证:DE是⊙O的切线.
3)如图,以等腰△ABC的一腰为直径作⊙O,交底边BC于D,交另一腰于F,若
DE⊥AC于E(或E为CF中点),求证:DE是⊙O的切线.
4)如图,AB是⊙O的直径,AE均分∠BAF,交⊙O于点E,过点E作直线ED⊥AF,
AF的延伸线于点D,交AB的延伸线于点C,求证:CD是⊙O的切线.
C
C
A
D
D
E
A
O
O
F
A
O
B
A
O
B
E
B
F
DC
B
C
E
D
(5)在(1)中的条件①、②、③中任选两个条件,当
BG⊥CD
D
于E时(如图5),则:
E
C
①DE=GB;②DC=CG;③AD+BG=AB;④AD?BG=1DG2
=DC2
G
4
A
B
O
图5
图形2
:如图
:
°。点O是AC上一点,以OC为半径作⊙O交AC
Rt⊿ABC中,∠ACB=90
于点E,基本结论有:
B
B
B
D
G
D
G
D
F
F
H
.
C
O
E
AC
O
E
A
C
O
E
A
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图1图2图3
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1)在“BO均分∠CBA”;“BO∥DE”;“AB是⊙O的切线”;“BD=BC”。四个论断中,知一推三。
(2)①G是⊿BCD的心里;②CG=GD;③⊿BCO∽⊿CDEBO?DE=CO?CE=1CE2;
2
3)在图(1)中的线段BC、CE、AE、AD中,知二求四。
4)如图(3),若①BC=CE,则:②AE=1=tan∠ADE;③BC:AC:AB=3:4:5;(在
AD2
①、②、③中知一推二)④设BE、CD交于点H,,则BH=2EH
图形3:如图:Rt⊿ABC中,∠ABC=90°,以AB为直径作⊙O交AC于D,基本结论有:
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如右图:(1)DE切⊙OE是BC的中点;
2)若DE切⊙O,则:①DE=BE=CE;
②D、O、B、E四点共圆∠CED=2∠A

C
D
E
AOB
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③CD·CA=4BE2,
DE
CD
BC
R
BD
BA
图形特别化:在(
1)的条件下
如图1:DE∥AB
⊿ABC、⊿CDE是等腰直角三角形;
如图2:若DE的延伸线交AB的延伸线于点
F,若AB=BF,则:
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①DE
1
;②
BE
1
EF
3
R
2

C
C
D
E
D
E
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AOBAOBF
图1
图2
图形4:如图,⊿ABC中,AB=AC,以AB为直径作⊙O,交BC于点D,交AC于点F,
C
基本结论有:
E
F
D
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(1)DE⊥ACDE切⊙O;
(2)在DE⊥AC或DE切⊙O下,有:①⊿DFC是等腰三角形;

AOB
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②EF=EC;③D是BF的中点。④与基本图形1的结论重合。
⑤连AD,产生母子三角形。
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.
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图形5::以直角梯形
ABCD的直腰为直径的圆切斜腰于
E,基本结论有:
AD
A
D
A
D
E
E
G
E
F
O
O
O
F
B
C
B
C
B
C
图1
图2
图3
1)如图1:①AD+BC=CD;②∠COD=∠AEB=90°;③OD均分∠ADC(或OC平
分∠BCD);(注:在①、②、③及④“CD是⊙O的切线”四个论断中,知一推三)
AD·BC=1AB2=R2;
4
2)如图2,连AE、CO,则有:CO∥AE,CO?AE=2R2(与基本图形2重合)
3)如图3,若EF⊥AB于F,交AC于G,则:EG=FG.
图形6:如图:直线PR⊥⊙O的半径OB于E,PQ切⊙O于Q,BQ交直线PQ于R。
基本结论有:
BREPBB
Q
ERAPB
OQEAPRO
OOQ
Q
EPR
(1)PQ=PR(⊿PQR是等腰三角形);
2)在“PR⊥OB”、“PQ切⊙O”、“PQ=PR”中,知二推一
3)2PR·RE=BR·RQ=BE·2R=AB2
图形7:如图,⊿ABC内接于⊙O,I为△ABC的心里。基本结论有:
(1)如图1,①BD=CD=ID
;②DI2=DE·DA;
A
A
1
O
D
③∠AIB=90°+∠ACB;
I
IE
O
2
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(2)如图2,若∠BAC=60°,则:BD+CE=BC.
BEC
BC
D
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图1图2
图形8:已知,AB是⊙O的直径,C是BG中点,CD⊥AB于D。BG交CD、AC于E、F。基本结论有:
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.
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(1)CD=
1
BG;BE=EF=CE;GF=2DE
2
1
(反之,由CD=
BG或BE=EF可得:C是BG中点)
2
2)OE=1AF,OE∥AC;⊿ODE∽⊿AGF
2

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G
C
F
HE
AB
OD
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(3)BE·BG=BD·BA
(4)若D是OB的中点,则:①⊿CEF是等边三角形;②
BC=CG=AG
10.(门1)已知Rt△ABC中,∠ABC=90°,以AB为直径作⊙O交AC于点D,连接BD.
1)如图1,若BD∶CD=3∶4,AD=3,求⊙O的直径AB的长;
2)如图2,若E是BC的中点,连接ED,请你判断直线ED与⊙O的地点关系,并
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证明你的结论.
来[源学+科+网]
8.(海1)如图,AB为⊙O的直径,
1)证明BF是⊙O的切线;
2)设AC与BF的延伸线交于点

A
A
D
D
O
O
B
C
B
E
C
图1
图2
AB=4,点C在⊙O上,CF⊥OC,且CF=BF.
M
M,若MC=6,求∠MCF的大小.
F
C
B
O
A
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6.(房1)(本小题满分5分)已知:如图,在△ABC中,AB=AC,
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以AB为直径的⊙O分别交BC、AC于点D、E,

C
E
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联系EB交OD于点F.
.

D
F
AOB
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1)求证:OD⊥BE;
2)若DE=5,AB=5,求AE的长.
4.(大1)在平面直角坐标系xOy中,矩形ABCO的面积为15,边OA比OC大2,E为BC的
中点,以OE为直径的⊙O′交x轴于D点,过点D作DF⊥AE
y
F.
CEB
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(1)求OA,OC的长;
O'
(2)求证:DF为⊙O′的切线;
(3)由已知可得,△
否存在除点E以外的点P,使△AOP也是等腰三角形?假如存
在,请你证明点P与⊙O′的地点关系,假如不存在,请说明原由.
1(西1).如图,D是⊙O的直径CA延伸线上一点,点B在⊙O上,且AB=AD=AO
1)求证:BD是⊙O的切线;
2)若E是劣弧BC上一点,AE与BC订交于点F,
BEF的面积为8,且cos∠BFA=2,
3
求△ACF的面积.
y
9、(2010江苏省泰州市)在平面直角坐标系中,直线y=kx+b(k为常
数且k≠0)分别交x轴、y轴于点A、B,⊙O半径为
5个单位长度.
B
(1)如图甲,若点A在x轴正半轴上,点B在y轴正半轴上,且OA
=OB.
C
①求k的值
②若b=4,点P为直线y=kx+b上的动点,过点
P作⊙O的切线
PC、PD,切点分别为C、D,当PC⊥PD时,求点P的坐标;
O
(2)若k=-1,直线y=kx+b将圆周分红两段弧长之比为
1:2,求
2
b的值.
图甲

F
Ax
P
D
A
x
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.
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